Основные определения курса «Теория вероятности и математическая статистика»

1. Дайте определение элементарного исхода случайного эксперимента. Перечислите все возможные элементарные исходы, возникающие при одновременном подбрасывании игральной кости и монеты. Элементарные исходы — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. 12 исходов(О-орел,Р-решка):О1,О2,О3,О4,О5,О6,Р1,Р2,Р3,Р4,Р5,Р6.

2. Что такое случайное событие. Приведите пример случайного события (не совпадающего ни с одним с элементарным исходом), возникающего при подбрасывании двух игральных костей. Случайное событие в теории вероятностей, событие, которое может при данных условиях как произойти так и не произойти и для которого имеется определённая вероятность р (0 <p < 1) его наступления при данных условиях. Примеры: оба выпадающих числа четные; сумма чисел равна 7;одно из чисел =5 и т.д.

3. Дайте определение достоверного и невозможного событий. Приведите примеры. Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность событий S.Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20°С, то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» достоверное. Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность событий S. Например, событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность событий предыдущего примера.

4. Что такое события «практически невозможное» и «практически достоверное»? Приведите примеры. Событие A называется практически невозможным, если его вероятность не в точности равна нулю, но очень близка к нулю.В качестве примера рассмотрим следующий опыт: 32 буквы разрезной азбуки смешали между собой; наугад вынимается одна карточка, стоящая на ней буква записывается, карточка возвращается обратно и смешивается с другими. Такой опыт производится 25 раз. Событие A состоит в том, что после 25 выниманий мы запишем первую строчку «Евгения Онегина»: "Мой дядя самых честных правил". Событие A не является физически невозможным, но вероятность его настолько мала, что событие с такой вероятностью можно смело считать практически невозможным.Аналогично, практически достоверным является событие, вероятность которого не в точности равна единице, но очень близка к единице.

5. Дайте определение равновероятных событий. Приведите примеры трех равновероятных событий, возникающих при вытаскивании карты из перетасованной колоды. Равновероятными(или равновозможными) называются такие события, для которых нет объективных причина считать, что одно из них будет наступать чаще, чем другое. Пример. Выпадения туза, короля и дамы равновероятны.

6. Какие события образуют полную группу? Какие события образуют полную группу при одновременно подбрасывании трех игральных костей? Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1. Полную группу в данном случае образуют все возможные комбинации выпадающих чисел от 1-1-1 до 6-6-6.

7. Дайте классическое определение вероятности. Приведите пример. Вероятностью события А называют отношение благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.P(A)=m/n,где m-число элементарных исходов, благоприятствующих А;n-число всех возможных элементарных исходов испытания. Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Например, 1)вероятность выпадения герба при бросании монеты ½,т.к. n=2 m=1 2)вероятность того, что при бросании кости выпадет число меньше пяти, равна 4/6, n=6,m=4.

8. Дайте геометрическое определение вероятности. Приведите пример. Геометрическая вероятность – это вероятность попадания точки в отрезок, область в пространстве. Пример.Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезке L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L и вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L.В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством P=Длина l/Длина L.

9. Дайте определение «суммы» двух событий. Пример: бросается игральная кость. Событие А состоит в том, что выпало четное число очков, а событие В – в том, что выпало нечетное число очков. В чем состоит объединение событий А+В? Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Суммой нескольких событий называют событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Пример. Событие А+В состоит в выпадении или четного, или нечетного количества очков, т.е. любого.

10. Дайте определение «произведения» двух событий. Пример: бросается игральная кость. Событие А состоит в том, что выпало четное число очков, а событие В – в том, что выпало число очков, меньшее 2. В чем состоит событие А*В? Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении(совмещении) этих событий. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в появлении всех этих событий. Событие АВ состоит в том, что выпало четное число очков меньше 2.В данном примере А и В несовместны.

11. Дайте определение «разности» двух событий. Пример: бросается игральная кость. Событие А состоит в том, что выпало нечетное число очков, а событие В – в том, что выпало число очков, меньшее 3. В чем состоит событие А-В? Разностью двух событий А и В называется событие, состоящее из событий А, неблагоприятствующих событию В. Пример. Событие А-В состоит в том, что выпало нечетное число очков ≥3,т.е. 3 или 5.

12. Дайте определение несовместных событий. Пример: бросается игральная кость. Событие А состоит в том, что выпало нечетное число очков, а событие В – в том, что выпало число очков, большее 3. Являются ли события А и В несовместными? События называют несовместными, если появление одно из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. Пример. Нет, не являются, потому что А не исключает В.Например, при выпадении числа 5 выполняются оба этих условия.

13. Дайте определение противоположных событий. Пример: бросается игральная кость. Событие А состоит в том, что выпало нечетное число очков, а событие В – в том, что выпало число очков, большее 3. Являются ли события А и В противоположными? Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Событием, противоположным событию А, называется событие , которое наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие А. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Р(А)+Р()=1. Пример. Нет, не являются, т.к. из ненаступления события А не следует наступление события В. Например, если выпадет число 2,не будет выполнено ни одно из указанный условий.

14. Сформулируйте теорему сложения вероятностей для несовместных событий. Приведите пример применения теоремы на основе случайного эксперимента, заключающегося в вытаскивании карт из перетасованной колоды. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: P(A₁+A₂+…+A_n)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n). Пример. Событие А-вытаскивание короля, событие В – вытаскивание туза, события А и В несовместны и вероятность события А+В равна Р(А+В)=4/36+4/36=2/9.

15. Сформулируйте теорему сложения вероятностей для совместных событий. Приведите пример применения теоремы на основе случайного эксперимента, заключающегося в вытаскивании карт из перетасованной колоды. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Р(A+B) = P(A) + P(B) — P(AB). Пример. Событие А- вытаскивание туза, событие В-вытаскивание карты масти «черви».Вероятность события А+В будет равна: Р(А+В)=4/36+9/36-1/39=1/3.

16. Сформулируйте теорему умножения вероятностей для независимых событий. Приведите пример применения теоремы на основе случайного эксперимента, заключающегося в подбрасывании игральной кости. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: Р (АВ) = Р (А) Р (В). Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий: Р (А1А2... Аn) = Р (А1) Р (А2)... Р (Аn). Пример. Событие А - выпадение четного числа, событие В- выпадение числа, больше 3. Вероятность события АВ будет равна Р(АВ)=1/3*1/2=1/6.

17. Сформулируйте теорему умножения вероятностей для зависимых событий. Приведите пример применения теоремы. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое уже наступило P(AB) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B). Вероятность совместного появления нескольких событий равна n произведения вероятности одного из них на условие вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились: P(ABC....LM) = P(A)×P(B/A)×P(C/AB) P(M/AB...L).Пример. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков - конусный, а второй - эллиптический.Решение. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие А),Р(А) = 3/10. Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик -. конусный, т. е. условная вероятность РА(В)=7/9.По теореме умножения, искомая вероятность Р (АВ) = Р (А)РА (В) = (3/10)-(7/9) = 7/30.

18. Какие события называются независимыми? Пример: бросается игральная кость. Событие А состоит в том, что выпало четное число очков, а событие В – в том, что выпало число очков, меньшее 2. Зависимы ли события А и В? Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности появления события В, т.е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: Р(В/А)=Р(В). Пример. События зависимы, т.к. безусловная вероятность события В равна Р(В)=1/6, а условная вероятность, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло равна Р(В/А)=0 (вероятности не равны).

19. Запишите формулу полной вероятности. Приведите пример применения этой формулы. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В₁,В₂…В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А: . Пример. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго - 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) - стандартная. Решение. Обозначим через А событие "извлеченная деталь стандартна".Деталь может быть извлечена либо из первого набора (событие B1), либо из второго (событие В2).Вероятность того, что деталь вынута из первого набора равна P(В1) = 1/2.Вероятность того, что деталь вынута из второго набора равна Р(В2)=1/2.Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь, P_В1 (A) =0,8. Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь, Р_B2 (A)=0,9. Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь - стандартная, по формуле полной вероятности равна Р (А) = Р (В1) P_В1 (A)+ P (В2) Р_B2 (A) = 0,5 · 0,8 + 0,5 · 0,9 = 0,85.

20. Запишите формулу Байеса. Приведите пример применения этой формулы. Р_А (В1) = (Р (В1)· P_B1 (A)) /(Р (В1) P_В1 (A)+ P (В2) Р_B2 (A) +.. + P (Вn) Р_Bn (A)). Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму - 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым - 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер. Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что годная деталь признана стандартной. Можно сделать два предположения:1) деталь проверил первый контролер (гипотеза B1),2) деталь проверил второй контролер (гипотеза В2).Искомую вероятность того, что деталь проверил первый контролер, найдем по формуле Бейеса: Р_А (В1) = (Р (В1)· P_B1 (A)): (В1) PВ1 (A)+ P (В2) Р_B2 (A) +.. + P (Вn) Р_Bn (A))По условию задачи имеем: P(B1)= 0,6 -вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру; P (В2) =0,4 -вероятность того, что деталь попадет ко второму контролеру; P_В1 (A)=0,94 -вероятность того, что годная деталь будет признана первым контролером стандартной); Р_B2 (A) = 0,98 - вероятность того, что годная деталь будет признана вторым контролером стандартной),.Искомая вероятность P_B1 (A)) = (0,6 • 0,94)/(0,6 • 0,94 + 0,4-0,98) =0,59.

21. Запишите формулу Бернулли. Приведите пример на основе случайного эксперимента, заключающегося в многократном подбрасывании монетки. , где . Пример. Определить, какова вероятность трехкратного выпадения герба при четырехкратном подбрасывании монетки. Решение. По формуле Бернулли находим: .

22. Как определить наивероятнейшее число наступления события A в схеме Бернулли? Приведите пример. Число m0 называется наивероятнейшим числом наступлений события А в n испытаниях и равно целой части числа (n+1)p, а при целом (n+1)p наибольшее значение достигается при двух числах: m1=(n+1)p-1 и m2=(n+1)p. Если р≠0 и р≠1, то число m0 можно определить из двойного неравенства: np-q ≤ m₀ ≤ np+p. Пример. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых? Решение. Вероятность извлечения белого шара p=20/30=2/3 можно считать одной и той же во всех испытаниях; q=1-p=1/3. Используя формулу Бернулли, получаем P₄(2) = C₄²·p²·q²=(12/2)·(2/3)²·(1/3)² = 8/27

23. Запишите формулу Пуассона. Приведите пример на основе случайного эксперимента, заключающегося в многократном подбрасывании монетки. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний n достаточно велико, то вероятность наступления события A ровно m раз приближенно равна , где (если npq<9). Пример. Монетка подбрасывается 28 раз, определить вероятность выпадения герба ровно 16 раз. Решение. Т.к. npq=7<9, то можно воспользоваться формулой Пуассона. λ=np=28*0,5=14 P₂₈(16)=14¹⁶*e^-14/16!=0,0866.

24. Сформулируйте локальную теорему Муавра-Лапласа. Приведите пример на основе случайного эксперимента, заключающегося в многократном подбрасывании монетки. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Р_n(k) того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции: ,где , . Пример. Монетка подбрасывается 100 раз, определить вероятность выпадения герба ровно 56 раз. Решение. npq=25>9, следовательно, можно применять локальную теорему Муавра-Лапласа. х=(56-0,5*100)/5=1,2, φ(1,2)= 0,1942, P₁₀₀(56)= 0,1942/5=0,03884.

25. Сформулируйте интегральную теорему Муавра-Лапласа. Приведите пример на основе случайного эксперимента, заключающегося в многократном подбрасывании монетки. Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P_n(k₁,k₂) того, что событие появится в испытаниях от k₁ до k₂ раз, приближенно равна определенному интегралу: , где . При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, используют специальную таблицу для интеграла .В ней приведены значения функции Ф(х) (которую называют функцией Лапласа) для . Если x>5, то принимают Ф(х)=0,5. Для x<0 пользуются той же таблицей и свойством нечетности функции Лапласа, то есть Ф(-х)=-Ф(х). Пример. Монетка подбрасывается 100 раз, определить вероятность выпадения герба от 25 до 75 раз. Решение. npq=25, X₁=(25-0,5*100)/5=-5, X₂=(75-0,5*100)/5=5. P₁₀₀(25,75)=Ф(5)-Ф(-5)=2*Ф(5)=2*0,5=1.

26. Дайте определение случайной величины. Приведите пример. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение. Это значение не известное и оно зависящее от некоторых случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Примеры. 1. Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: О, 1, 2,.... 100. 2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от многих других причин (силы и направления ветра, температуры и т. д.), которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (а,b).

27. Дайте определение дискретной случайной величины. Приведите пример. Дискретной(прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. Пример. Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: О, 1, 2,.... 100.

28. Дайте определение непрерывной случайной величины. Приведите пример. Случайной непрерывной величиной называется величина, которая может принять любое из значений некоторого конечного или бесконечного промежутка. Пример. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от многих других причин (силы и направления ветра, температуры и т. д.), которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (а, b).

29. Что называется рядом распределения случайной величины? Пример: Монетка подбрасывается четыре раза. Построить ряд распределения случайной величины – количества выпавших «гербов». Законом распределения(или рядом распределения) случайной дискретной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Закон распределения чаще всего задается табличным способом. Возможно его задание графическим или аналитическим (в виде формулы) способами. При табличном задании - первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности. Значения величины образуют полную группу, причем сумма их вероятностей равна единице p₁+ p₂ +…+ p_n =1.Пример.Вычисляем вероятности по формуле Бернулли при n=4; k=0…4; p=0,5; q=0,5.P(0)=P(4)= 0,0625; P(1)=P(3)=0,25; P(3)=0,375.

30. Что называется функцией распределения случайной величины? Пример: Монетка подбрасывается три раза. Найти функцию распределения случайной величины – количества выпавших «орлов». Функция распределения случайной величины - это вероятность того, что случайная величина x примет значение меньшее, чем конкретное числовое значение x₁ : F(X) = P(x < x₁). Пример. Сначала найдем закон распределения, а потом,исходя из полученных результатов найдем функцию распределения.

31. Что называется многоугольником распределения случайной величины? Пример: игральная кость подбрасывается пять раз. Построить многоугольник распределения случайной величины – количества выпадения четного числа очков. Графическое представление закона распределения дискретной случайной величины называется многоугольником распределения. Пример. В данном случае вероятности равны p=0,5 и q=0,5.Найдем закон распределения и по нему построим многоугольник распределения.

32. Что такое биноминальное распределение? Приведите пример. Биномиа́льное распределе́ние— распределение количества «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна p. Вероятности вычисляются по формуле Бернулли: . Пример. Монетка подбрасывается три раза. Найти функцию распределения случайной величины – количества выпавших «орлов».Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины в данном примере будут такими:

33. Что такое распределение Пуассона? Приведите пример. Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что изделие в пути повредиться равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу придут 3 негодных изделия.Решение. По условию n=5000, р=0,0002, к=3. Найдем λ: λ=np=1По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна: P₅₀₀₀(3)= λ^ke^-λ/k!≈0,06.

34. Что такое геометрическое распределение? Приведите пример. Геометри́ческое распределе́ние — распределение дискретной случайной величины равной количеству испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого «успеха».Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р = 0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле. Решение. По условию, р =0,6, q = 0,4, k = 3. Р= q^k-1p=0,4²·0,6=0,096

35. Что такое гипергеометрическое распределение? Приведите пример. Гипергеометри́ческое распределе́ние в теории вероятностей моделирует количество удачных выборок без возвращения из конечной совокупности. В партии из N изделий имеется M (M < N) доброкачественных и N - M дефектных изделий. Если случайным образом из всей партии выбрать контрольную партию из n изделий, то число доброкачественных изделий в контрольной партии - случайная величина, которую обозначим x. Распределение такой случайной величины называется гипергеометрическим и имеет вид: , k = 0, 1, …, min(n,M). Пример. Среди 50 изделий 20 окрашенных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 5 изделий окажется ровно 3 окрашенных. Решение. По условию, N=50,M=20,n=5,m=3. P(X=3)=C³₂₀C²₃₀/C⁵₅₀=0,234.

36. Дайте определение произведения случайной величины на постоянную величину. Произведением случайной величины Х на постоянную величину C называется величина CХ, возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения Х на C,вероятности таких величин равны соответствующим вероятностям случайной величины Х.

37. Дайте определение n-ой степени случайной величины. n-ой степенью случайной величины Х называется величина Х ^n, возможные значения которой равны n-ым степеням каждого возможного значения Х, вероятности таких величин равны соответствующим вероятностям случайной величины Х.

38. Дайте определение суммы двух случайных величин. Суммой случайных величин Х и Y называется величина Х + Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y; вероятности таких сумм равны произведениям вероятностей слагаемых (для зависимых случайных величин – произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго).

39. Дайте определение разности двух случайных величин. Разностью случайных величин Х и Y называется величина Х - Y, возможные значения которой равны разностям каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y; вероятности таких разностей равны произведениям вероятностей слагаемых (для зависимых случайных величин – произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго).

40. Дайте определение произведения двух случайных величин. Произведением независимых случайных величин Х и Y называют случайную величину XY, возможные значения которой равны произведениям всех возможных значений Х на все возможные значения Y, а соответствующие им вероят-ности равны произведениям вероятностей сомножителей

41. Дайте определение математического ожидания случайной величины. Чему равно математическое ожидание случайной величины, равной количеству появления герба при трех бросаниях монетки. Математическим ожиданием случайной дискретной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: М (X) = x₁p₁+ х₂р₂ +... + х_nр_n Пример. По условию n=3, p=0,5. M(x)=np=3*0,5=1,5.

42. Сформулируйте свойства математического ожидания случайной величины. Чему равно математическое ожидание случайной величины, равной числу очков, появившихся при однократном подбрасывании игральной кости. Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С) = С.Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ) = СМ(Х). Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей M(XY) = M(X)·M(Y).Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. Например, для трех случайных величин имеем: М (XYZ) = М (XY ·Z) = M (XY) M(Z)=M (X) ·М (Y) · М (Z). Свойство 4. Математическое ожидание суммы (разности) двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий слагаемых. Математическое ожидание разности двух случайных величин равно разности их математических ожиданий слагаемых. M(X+Y) = M(X) + M(Y); M(X-Y) = M(X)-M(Y). Это свойство также распространяется на любое количество событий. Пример. По условию p=1/6, n=6. M(X)= np =1.

43. Что такое центрированная случайная величина? Пусть случайная величина равна количеству появления герба при четырех бросаниях монетки. Какие значения будет принимать соответствующая ей центрированная случайная величина? Центрированной случайной величиной, соответствующей величине Х, называется отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания X - М(Х). Пример. По условию, p=0,5 n=4.M(x)=np=2.

44. Дайте определение дисперсии случайной величины. Чему равна дисперсия случайной величины, равной числу очков, появившихся при однократном подбрасывании игральной кости? Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины. Пример. По условию, n=6,p=1/6,q=5/6. D= npq =5/6.

45. Дайте определение среднеквадратического отклонения случайной величины. Чему равно среднеквадратическое отклонения случайной величины, равной количеству появления герба при трех бросаниях монетки? Квадратный корень из дисперсии, равный σ, называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

46. Сформулируйте свойства дисперсии случайной величины. Чему равна дисперсия случайной величины, равной числу гербов, появившихся при однократном подбрасывании монетки. Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D (С)=0. Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(CX)-C2 ·D(X). Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D (X + Y) = D (X) + D (У). Следствия 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины: Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D (X - Y) = D (X) + D (У). Пример. По условию, n=1,p=1/2,q=1/2. D= npq =0,25.

47. Что такое плотность распределения непрерывной случайной величины? Найдите плотность распределения случайной величины, если задана её функция распределения: . Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).

48. Что такое плотность распределения непрерывной случайной величины? Может ли функция описывать плотность распределения случайной величины? Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).

49. Что такое равномерное распределение случайной величины. Приведите пример.

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [а, в], если на этом отрезке плотность распределения вероятности случайной величины постоянна, т. е. если дифференциальная функция распределения f(х) имеет следующий вид:

Например, при поломке часов остановившаяся минутная стрелка будет с одинаковой вероятностью (плотностью вероятности) показывать время, прошедшее от начала данного часа до поломки часов. Это время является случайной величиной, принимающей с одинаковой плотностью вероятности значения, которые не выходят за границы, определенные продолжительностью одного часа. К подобным случайным величинам относится также и погрешность округления.

50. Что такое показательное распределение случайной величины. Какой смысл имеет его параметр? Непрерывная случайная величина X, функция плотности которой задается выражением , называется случайной величиной, имеющей показательное, или экспоненциальное, распределение. Смысл параметра: λ=1/М.

51. Что такое нормальное распределение случайной величины. Какой смысл имеют его параметры? Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение (распределена по нормальному закону), если плотность распределения вероятности f(x) имеет вид .

Параметр а- есть математическое ожидание непрерывной случайной величины, имеющей нормальное распределение, σ - среднее квадратическое отклонение.

52. Сформулируйте правило трех сигм для нормального распределения. Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

, т. е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.

53. Что такое мода случайной величины? Найдите моду случайной величины, имеющей следующую плотность распределения: . Мода непрерывной случайной величины - это такое ее значение, которому соответствует максимальное значение ее плотности вероятности. В примере модой являются 2 точки x=-1 и x=1,т.к. в них плотность вероятности имеет максимальное значение.

54. Что такое медиана случайной величины? Найдите медиану случайной величины, имеющей следующую плотность распределения: . Для непрерывной случайной величины медиана это абсцисса точки в которой площадь под кривой распределяется пополам. В примере медианой является точка x=0, т.к. функция симметрична относительно оси ординат.

55. Для чего служит коэффициент асимметрии? Как его можно вычислить? Коэффицие́нт асимметри́и — числовая характеризующая степени несимметричности распределения данной случайной величины. Вычисляется по формуле (или S_x).

56. Что характеризует эксцесс? Как его можно вычислить? Эксцесс характеризует относительную остроконечность или сглаженность распределения по сравнению с нормальным распределением. Вычисляется по формуле (или E_x).

57. Что такое a-квантиль? Как его можно вычислить? a -кванти́ль (или квантиль порядка a) — числовая характеристика закона распределения случайной величины; такое число, что данная случайная величина попадает левее его с вероятностью, не превосходящей a. Находится из уравнения .

58. Дайте определение a-квантиля. Чем отличается перцентиль от дециля? a -кванти́ль (или квантиль порядка a) — числовая характеристика закона распределения случайной величины; такое число, что данная случайная величина попадает левее его с вероятностью, не превосходящей a. Перцентиль – это a -кванти́ль, у которого a =1%, а дециля a =10%.

59. Что такое ковариация случайных величин X и Y? Что она характеризует, какие значения может принимать и как её можно вычислить? Ковариация являетcя совместным центральным моментом второго порядка. Ковариация определяется как математическое ожидание произведения отклонений случайных величин. . Характеризует зависимость двух случайных величин. Абсолютная величина ковариации двух случайных величин X и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий: .

60. Как можно определить зависимость или независимость двух случайных величин X и Y? Зависимы ли случайные величины, описываемые следующей таблицей. Величины независимы, если ковариация двух независимых случайных величин X и Y равна нулю, для непрерывных случайных величин f(x)f(y)=f(x,y). Пример. Математическое ожидание случайной величины X равно

M[x]=-1*0,4+1*0,6=0,2 и так же для,M[y]=0,2. K_XY=0,2-0,2-0,2+0,4-0,2*0,2=0,16. Из этого делаем вывод,что величины X и Y зависимы.

61. Что такое коэффициент корреляции случайных величин X и Y? Что он характеризует, какие значения может принимать и как его можно вычислить? Коэффициентом корреляции rxy случайных величин Х и Y называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин. Коэффициент корреляции изменяется в пределах от минус единицы до плюс единицы.

62. Как можно определить коррелированность двух случайных величин X и Y? Коррелированны ли случайные величины, описываемые следующей таблицей. Две случайные величины x и у называют коррелированными, если их корреляционный момент (или, что то же, коэффициент корреляции) отличен от нуля; X и у называют некоррелированными величинами, если их корреляционный момент равен нулю. Две коррелированные величины также и зависимы. Математическое ожидание случайной величины X равно M[x]=-1*0,4+1*0,6=0,2 и так же для,M[y]=0,2. K_XY=0,2-0,2-0,2+0,4-0,2*0,2=0,16, Дисперсии равны D[x]=D[y]=0,4+0,6-0,2^2=0,96, корелляция будет равна 0,16/((0,96)^(1/2)*(0,96)^(1/2))=0,167, т.е. величины кореллированы.

63. Что описываетфункция регрессии величины Y на X. Пусть составляющие Х и Y двумерной случайной величины (Х, Y) зависимы. Будем считать, что одну из них можно приближенно представить как линейную функцию другой, например Y ≈ α + βХ. α=r*σ(x)/σ(y), β=M[y]/M[x]-1/M[x]* r*σ(x)/σ(y). Функция регрессии описывает зависимость одной случайной величины от другой.

64. Что такое условная плотность распределения случайной величины? Как её можно найти для непрерывных случайных величин? Найти f(x|y), если . Плотность распределения одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение, называется условной плотностью распределения. , .

65. Что такое условная плотность распределения случайной величины? Как её можно найти для дискретных случайных величин? Найти p_y=1(x), если случайная величин (X,Y), описана следующей таблицей. Плотность распределения одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение, называется условной плотностью распределения.

66. Каков смысл центральной предельной теоремы? Теорема Ляпунова объясняет широкое распространение нормального закона распределения и поясняет механизм его образования. Теорема позволяет утверждать, что всегда, когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа независимых случайных величин, дисперсии которых малы по сравнению с дисперсией суммы, закон распределения этой случайной величины оказывается практически нормальным законом. А поскольку случайные величины всегда порождаются бесконечным количеством причин и чаще всего ни одна из них не имеет дисперсии, сравнимой с дисперсией самой случайной величины, то большинство встречающихся в практике случайных величин подчинено нормальному закону распределения.

67. Каков смысл закона больших чисел? Под законом больших чисел и понимается совокупность предложений, в которых утверждается, что с вероятностью, как угодно близкой к единице (или нулю), произойдет событие, зависящее от очень большого, неограниченно увеличивающегося числа случайных событий, каждое из которых оказывает на него лишь незначительное влияние. Точнее, под законом больших чисел понимается совокупность предложений, в которых утверждается, что с вероятностью, как угодно близкой к единице, отклонение среднего арифметического достаточно большого числа случайных величин от постоянной величины - среднего арифметического их математических ожиданий, не превзойдет заданного как угодно малого числа.

68. Что такое выборочная совокупность и что такое генеральная совокупность. Чем они отличаются? Генеральной совокупностью называют совокупность всех мысленно возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения с целью получения конкретных значений случайной величины, или совокупность результатов всех мыслимых наблюдений, проводимых в неизменных условиях над одной из случайных величин, связанных с данным видом объектов. Выборочной совокупностью называют часть отобранных объектов из генеральной совокупности.

69. Что такое дискретный вариационный ряд? Построить дискретный вариационный ряд для дискретной случайной величины, если были получены следующие значения: 3; 1; 3; 1; 4; 2; 2; 4; 0; 3; 0; 2; 2; 0; 2; 1;4; 3; 3; 1; 4; 2; 2; 1; 1; 2; 1; 0; 3; 4; 1; 3; 2; 7; 2. Дискретным вариационным рядом распределения называется ранжированная совокупность вариантов хi с соответствующими им частотами

70. Что такое эмпирическая плотность распределения? Построить эмпирическая плотность распределения и полигон частот для дискретной случайной величины, если были получены следующие значения: 3; 1; 3; 1; 4; 2; 2; 4; 0; 3; 0; 2; 2; 0; 2; 1;4; 3; 3; 1; 4; 2; 2; 1; 1; 2; 1; 0; 3; Эмпирическая функция распределения — Выборочная (эмпирическая) функция распределения в математической статистике это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.

71. Найти несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии для случайной величины Х, если в эксперименте были получены следующие значения: 3; 1; 3; 1; 4; 2; 2; 4; 0; 3;

=2,3; =1,2.

72. В чем суть метода моментов для точечной оценки параметров распределения. Метод моментов оценивания параметров распределения генеральной совокупности состоит в том, на основании выборки х1, х2,..., хn вычисляются выборочные моменты (начальные или центральные). Полученные значения приравниваются соответствующим теоретическим моментам. Количество моментов должно ровняться числу оцениваемых параметров. Затем решают полученную систему уравнений относительно этих параметров.

73. В чем суть метода максимального правдоподобия для точечной оценки параметров распределения. Метод максимального правдоподобия основывается на представлении выборки объема n как n-мерной случайной величине (Х1, Х2,..., Хn), где рассматриваются как независимые случайные величины с одинаковой плотностью распределения f(x). Плотность распределения такой n-мерной случайной величины называется функцией правдоподобия L(x1, x2,..., xn), которая в силу независимости случайных величин равна произведению плотностей распределения случайных величин Х1, Х2,..., Хn:L(x1, x2,..., xn) = f(x1) f(x2)... f(xn).Отсюда следует, что всякую функцию у=у(x1, x2,..., xn) выборочных значений x1, x2,..., xn,(статистику), можно представить как случайную величину, распределение которой однозначно определяется функцией правдоподобия.

74. Что такое доверительный интервал для математического ожидания. Как его найти? Доверительным называют интервал, который покрывает математическое ожидание с заданной надёжностью.

I_β=(M-σ_mt_β;M-σ_mt_β)

75. Что такое доверительный интервал для дисперсии. Как его найти? Доверительным называют интервал, который покрывает дисперсию с заданной надёжностью.

I_β=(D-σ_Dt_β;D-σ_Dt_β)

76. Что такое статистическая гипотеза. Приведите примеры параметрической непараметрической гипотез. Статистическая гипотеза представляет собой некоторое предположение о законе распределения случайной величины или о параметрах этого закона, формулируемое на основе выборки В первой из них высказано предположение о виде закона распределения, а во второй – о параметрах двух распределений. Гипотезы, в основе которых нет никаких допущений о конкретном виде закона распределения, называют непараметрическими, в противном случае – параметрическими. Примерами статистических гипотез являются предположения: генеральная совокупность распределена по экспоненциальному закону(параметрический); математические ожидания двух выборок равны друг другу(непараметрический).

77. Что такое статистическая гипотеза. Приведите примеры простой и сложной гипотез. Статистическая гипотеза представляет собой некоторое предположение о законе распределения случайной величины или о параметрах этого закона, формулируемое на основе выборки. Различают простые и сложные гипотезы. Гипотезу называют простой, если она однозначно характеризует параметр распределения случайной величины. Например, если l является параметром экспоненциального распределения, то гипотеза Н0 о равенстве l =10 – простая гипотеза. Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного множества простых гипотез. Сложная гипотеза Н0 о неравенстве l >10 состоит из бесконечного множества простых гипотез Н0 о равенстве l =b_i, где b_i – любое число, большее 10. Гипотеза Н₀ о том, что математическое ожидание нормального распределения равно двум при неизвестной дисперсии, тоже является сложной. Сложной гипотезой будет предположение о распределении случайной величины Х по нормальному закону, если не фиксируются конкретные значения математического ожидания и дисперсии.

78. Что такое статистический критерий. СТАТИСТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ - определяющие правила, согласно которым по результатам наблюдений принимается решение в задаче статистической проверки гипотез.

79. Что такое область принятия гипотезы и как определить критическую точку статистического критерия? Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают. Основной принцип проверки статистических гипотез можно сформулировать так: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области - гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы - гипотезу принимают. Для каждого статистического критерия рассчитаны специальные таблицы, с помощью которых определяют критическую точку, удовлетворяющую заданному уровню значимости.

80. Что такое уровень значимости критерия? Охарактеризуйте ошибки первого и второго рода. Уровень значимости – это вероятность ошибки первого рода при принятии решения (вероятность ошибочного отклонения нулевой гипотезы). Ошибки первого и второго рода являются взаимно-симметричными, то есть если поменять местами гипотезы H0 и H1, то ошибки первого рода превратятся в ошибки второго рода и наоборот. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том» что будет принята неправильная гипотеза.

81. Что такое мощность критерия? Охарактеризуйте ошибки первого и второго рода. Мощность критерия (теста)- это вероятность допустить ошибку II рода (β), то есть принять ложную гипотезу. Вычисляется по формуле (1 − β). Таким образом, чем выше мощность, тем меньше вероятность совершить ошибку второго рода. Ошибки первого и второго рода являются взаимно-симметричными, то есть если поменять местами гипотезы H0 и H1, то ошибки первого рода превратятся в ошибки второго рода и наоборот. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том» что будет принята неправильная гипотеза.

Поиск по сайту: