АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Тригонометрическая форма комплексного числа

Читайте также:
  1. B) Спортивная форма
  2. B. на процессе сбора, передачи и хранения информации
  3. C) в тексте нет информации
  4. C.) При кодировании текстовой информации в кодах ASCII двоичный код каждого символа в памяти ПК занимает
  5. CASE-технологія створення інформаційних систем
  6. CMS, редактирование информации
  7. D. процессы самоорганизации, информационные процессы и процессы управления в живых системах
  8. g) процесс управления информацией.
  9. I Курс I I семестр (полная форма обучения)
  10. I. ИНФОРМАЦИЯ, КОТОРУЮ НЕОБХОДИМО ЗНАТЬ ДО НАЧАЛА АНКЕТИРОВАНИЯ
  11. II. Формальная логика как первая система методов философии.
  12. III Рондообразная форма.

Комплексный анализ.

Формы комплексного числа

Наименование формы Формула Геометрическое представление
1.Алгебраическая z=a+ib
2.Тригонометрическая z=r(cos +i sin )
3.Показательная z=rei
Обозначение: i – мнимая единица, где i 2=-1 z – комплексное число a,b – действительные числа a – действительная часть ib – мнимая часть r – модуль, - аргумент, Соотношения:

 

 

Операции над комплексными числами

  Наименование операции Формулы
  Сложение и вычитание в алгебраической форме
  Сложение и вычитание сопряженных чисел
  Умножение в алгебраической форме
  Умножение сопряженных чисел
  Деление в алгебраической форме
  Умножение в показательной форме
  Умножение в тригонометрической форме
  Деление в показательной форме
  Деление в тригонометрической форме
  Возведение в целую степень в показательной и тригонометрической формах
  Корень целой степени
  Формула Эйлера
  Формула Муавра

 

Обозначение:

 

Комплексным числом называется величина , где х и у действительные числа, называемые действительной и мнимой частями числа , - мнимая единица, . Таким образом,

Суммой комплексных чисел и наз.к.ч. , равное

 

Произведением действительного числа на комплексное число наз.величина , равная

Разность комплексных чисел и равна

Пример 1.

 

Произведение комплексных чисел и находится по правилу

.

Таким образом, .

 

Пример 2.

 

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Пример 6.

Число называется сопряженным к комплексному числу .

Имеем

 

Частным и называется число , для которого . Частное обозначается

. Вычисляется по правилу:

Таким образом,

 

Пример 7.

 

Пример 8.

Пример 9.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексное число можно представить в виде упорядоченной пары -радиус- вектор на комплексной плоскости с началом в начале координат и с концом в точке . При этом радиус-вектор или комплексное число характеризуется модулем или длиной вектора = , с углом наклона к оси абсцисс. Будем называть главным значением аргумента или аргументом, если . Обозначается .

При этом положителен, если он отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки, и отрицателен, если наоборот. Ясно, что . Отсюда получаем тригонометрическую форму комплексного числа :

 

Используя разложение функций и в ряды Тейлора, можно показать, что

(формула Эйлера)

Если заданы и , то аргумент находится следующим образом:

Точка z лежит в первой четверти комплексной плоскости, . Тогда . Точка z лежит во второй четверти комплексной плоскости, . Тогда . Точка z лежит в третьей четверти комплексной плоскости, . Тогда . Точка z лежит в четвертой четверти комплексной плоскости, . Тогда .

Рассмотрим частные случаи:

Если , точка лежит на оси справа от начала координат, тогда . Если , точка лежит на оси выше начала координат, тогда . Если , точка лежит на оси слева от начала координат, тогда . Если , точка лежит на оси ниже начала координат, тогда .

Если, , точка лежит в четвертой четверти, . Если , точка лежит в первой четверти, . Если , точка лежит во второй четверти, . Если , точка лежит в четвертой четверти, . Если , точка лежит в третьей четверти, .

Можно показать, что, если , , то

 

,

 

в частности, если умножим число само на себя раз, получим формулу Муавра

 

 

Пример 10. Записать в тригонометрической форме числа

1) ; 2)

Решение. 1) . Отсюда

2) . Отсюда

В следующих двух примерах применим формулу Муавра.

Пример 11. Найти

Решение.

Пример 12. Найти

Решение. Имеем

 


Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.01 сек.)