Ключевые задачи из пособия Шарыгина И.Ф

6! Треугольник будет остроугольным, прямоугольным или тупоугольным в зависимости от того, будет ли квадрат его наибольшей стороны соответственно меньше, равен или больше суммы квадратов двух других сторон.

10! Пусть m_a – длина медианы, проведенной к стороне а треугольника. Две другие стороны равны b и c. Доказать, что

m_a ² = (2 b ² + 2 c ² – a ²).

12! Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит этот треугольник на два подобных между собой и подобных исходному треугольнику треугольника.

13! Медиана, выходящая из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы. Верно и обратное утверждение: если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный. Прямым является угол, из вершины которого выходит рассматриваемая медиана.

14! Пусть – высота, прямоугольного треугольника ABC, опущенная на гипотенузу AB. Тогда

CD ² = AD ∙DB, AC ² = AB ∙AD, BC ² = BA ∙BD.

15! R = , причем центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

16! r = (a + b – c) = p – c, где p – полупериметр треугольника, 2 p = a + b + c.

29! Доказать теорему синусов.

39! Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1 (считая от вершины, из которой соответствующая медиана выходит).

45! Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

49! Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам этого треугольника, заключающим биссектрису.

50! Пусть L – точка пересечения биссектрис треугольника ABC, т.е. центр вписанной в этот треугольник окружности. Доказать, что верны равенства:

< BLC = 90^о + A, < CLA = 90^о + B, < ALB = 90^о + C.

61! Доказать две формулы площади треугольника:

S = , S = 2 R ²∙sin A ∙ sin B ∙ sin C.

62! Доказать формулу площади треугольника:

S = pr,

где p – полупериметр треугольника и r – радиус вписанной в этот треугольник окружности.

63! Пусть точка B ₁ расположена на прямой AB, а точка C ₁ – на прямой AC, тогда отношение площадей треугольников AB ₁С₁ и ABC равно отношению сторон, содержащих вершину A, то есть .

70! Выразить площадь правильного треугольника через его сторону.

74! Если d ₁ и d ₂ диагонали четырехугольника, φ – угол между диагоналями, S – его площадь, то S = d ₁ d ₂ sinφ.

75! Пусть ABCD трапеция с основаниями AD и BC, О – точка пересечения ее диагоналей. Тогда треугольники и равновелики.

76! Сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.

77! Середины сторон произвольного четырехугольника служат вершинами параллелограмма. Стороны этого параллелограмма соответственно параллельны диагоналям четырехугольника и равны половинам этих диагоналей.

88! Доказать, что две дуги окружности, заключенные между двумя параллельными ее хордами, равны между собой.

89! Доказать, что угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, заключенных между его сторонами и продолжением его сторон за вершину угла.

90! Угол с вершиной вне круга измеряется полуразностью дуг, заключенных между сторонами угла. (Предполагается, что каждая из сторон угла пересекается с данной окружностью.)

91! Пусть М – точка внутри окружности радиуса R, расположенная на расстоянии a от центра окружности, AB – произвольная хорда, проходящая через М. Тогда

AM ∙ BM = R ² – a ².

92! Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180^о, то этот четырехугольник вписанный.

101! Пусть через некоторую точку окружности проведены хорда и касательная к окружности. Доказать, что каждый из двух углов, образованных этими хордой и касательной, измеряется половиной градусной меры дуги, заключенной внутри соответствующего угла.

102! Пусть М – точка, расположенная вне окружности радиуса R, на расстоянии a от ее центра. Произвольная секущая, проходящая через М, пересекает окружность в точках A и B, МС – касательная к окружности (С – точка касания). Тогда

MA ∙ MB = МС ² = a ² – R ².

103! Если ABCD – описанный около некоторой окружности четырехугольник, то

AB + CD = BC + DA.

Обратно, если для выпуклого четырехугольника выполняется равенство

AB + CD = BC + DA,

то в этот четырехугольник можно вписать окружность.

Акрамя усяго, студэнтам 4 курса у кожнаю падгрупу перадаюцца:

а) крытэрыі адзнакі за тэарэмы і за задачы;

б) дапаможныя матэрыяла для падрыхтоўкі да заліку;

в) расклад кансультацый і прыкладны тэрмін правядзення заліка;

г) парады для падрыхтоўцы да заліку.

(усе гэтыя матэрыялы распрацоўваюць студэнты 5 курса)

Студэнты 5 курса у кожнай падгрупе здымаюць відэаматэрыялы пры правядзенні кансультацый і заліка. Завуч падгрупы фіксуе ўдзел кожнага студэнта ў падрыхтоўцы і правядзенні кансультацый і заліка з 4 курсам.