Формула интегрирования по частям

Практическое занятие М2 (для студентов)

Тема занятия

Неопределенный интеграл. Вычисление неопределенного интеграла методом замены переменной. Определенный интеграл. Методы вычисления определенных интегралов.

Цели и задачи

Иметь представление об основных понятиях темы.

Знать основные определения, свойства, формулы вычисления неопределенных и определенных интегралов, геометрический смысл.

Уметь находить первообразные, вычислять интегралы табличным методом, а также методом замены переменной и по частям.

Основные понятия

Первообразная функции, неопределенный интеграл, основные методы нахождения неопределенных интегралов, непосредственное интегрирование, интегрирование по частям, метод замены переменной, интегрирование тригонометрических выражений, определенный интеграл, формула Ньютона-Лейбница.

Вопросы к занятию

1. Первообразная функции и неопределенный интеграл, основные свойства неопределенного интеграла.

2. Основные правила и формулы интегрирования.

3. Методы интегрирования.

4. Интегральная сумма, понятие определенного интеграла. Геометрический и физический смысл определенного интеграла.

5. Условия интегрируемости функций, основные свойства определенного интеграла.

6. Формула Ньютона-Лейбница.

Практическая часть.

Методы вычисления неопределенного интеграла

1. способом Замена переменной

(2)

причем должна существовать t=y(x)

Формула интегрирования по частям

(3)

где U(x),V(x) – дифференцируемые функции

3. Интегрирование рациональных дробей

Для неправильной дроби

следует выделить целую часть:

(4)

где Mm-n(x) и Rr(x) - многочлены степени (m-n) и r, причем r<n.

Разложение правильной дроби на сумму простейших дробей имеет вид:

(5)

Для вычисления коэффициентов Ai,Bi,Ci следует последнее равенство (5) привести к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнении относительно искомых коэффициентов. Можно определить коэффициенты и другим способом, придавая в полученном тождестве переменной х произвольные числовые значения.

Простейшие дроби, а правой части (5) интегрируется следующим

где не имеет действительных корней;

и интеграл считается по рекуррентной формуле:

4. Интегрирование простейших иррациональных функций.

где R-рациональная функция своих аргументов

m1,n1,m2,n2,… целые числа, вычисляются с помощью подстановки

где S-общий знаменатель дробей:

5. Интегрирование тригонометрических выражений.

Интегралы вида: , где R –рациональная функция, используется универсальная тригонометрическая подстановка:

Если – нечетная функция относительно , то интеграл вычисляется с помощью подстановки

Если – нечётная функция относительно ,то используется подстановка

Если – четная функция относительно то интеграл вычисляется с помощью подстановки ;

Интегралы вида ,

Если n – нечётное положительное число, то

Если m – нечётное положительное число, то

Если m,n – чётные положительные числа, тогда используют формулы:

Интегралы вида , m – целое положительное число, тогда или

Интегралы вида

n- целое положительное число, тогда

Интегралы вида

Используются рекуррентные формулы:

Интегралы вида

Вопросы для самоконтроля

1. Какая функция называется первообразной для заданной функции.

2. Если F(x) - первообразная для f(x), то каким равенством связаны они между собой.

3. Запишите первообразные для функций: 3, 4x³, cos x, 2/x.

4. Почему при интегрировании функций появляется произвольная постоянная.

5. Как записать всю совокупность первообразных функций.

6. Что называется неопределенным интегралом.

7. Как называются все элементы равенства f(x)dx=F(x)+C.

8. Как проверить результат интегрирования.

9. Что такое определенный интеграл?

10. Что называют пределами интегрирования.

11. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

Основная литература

1. Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. Для вузов. - 3-е изд., стер. - М.: Высш.школа. 1996. - гл. 5 § 1, 4-6, 8, 9, 12, 13, 15.

2. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики: Учебник. - М.: «Медицина» 1998. (Учебная литература для студентов медицинских вузов).

Дополнительная литература

1. Щипачев В.С. Начала высшей математики. М.«Дрофа». 2002.

2. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. М. «Владос». 2002

Поиск по сайту: