РОЗДІЛ 2. СИГНАЛИ І ЗАВАДИ, ЇХ МАТЕМАТИЧНИЙ ОПИС

2.1. СИГНАЛ І ЙОГО МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ

Сигнал електрозв'язку. У більшості випадків сигнал електрозв'язку можна розглядати як змінну за часом електричну величину (напругу, струм, електромагнітне коливання, напруженість поля). Ці величини можна спосте­рігати та реєструвати за допомогою різних приладів, наприклад осцилографа. Після спостереження та реєстрації сигнал буде мати вигляд таблиці чи графіка як функція часу. Графічне зображення сигналу називається часовою діаграмою. Один із прикладів часової діаграми наведений на рис. 2.1, де зображена осцилограма струму, що проходить через мікрофон. На інтервалі часу (.) звукові коливання мікрофоном не сприймались; на інтервалі () сприймалось звукове коливання якогось тону; на інтервалі () – складні звукові коливання.

Але часові діаграми сигналів є незручними як для теоретичних розрахунків, так і для зображення тривалих сигналів. Так, наприк­лад, часова діаграма телеграф­ного сигналу за 30 хв спостереження, коли кожний кодовий символ тривалістю 20 мс зобра­жено в масштабі 5 мм на символ, буде близько 450 м. Тому для проведення різних розрахунків сигналів виникає потреба їх математичного опису. Він полягає в одержанні відносно простого математичного виразу (формули, рівняння, нерівності і т.ін.), за яким можна розраховувати необхідні власти­вості та параметри сигналів (миттєві значення, числові характеристики тощо). Математичний опис сигналу дістав назву математична модель сигналу.

Математична модель відбиває істотні властивості реального сигналу. Один і той самий реальний сигнал можна описати кількома моделями. На­приклад, гармонічне коливання можна записати як чи . Який математичний вираз більш відповідає кожному конкре­тному випадку, вибирається, як правило, на основі аналізу часової діаграми. Це і є вибір математичної моделі. Одна і та ж сама математична модель може слугувати для опису струму, напруги, напруженості поля і т.ін. Надалі мате­матичні моделі сигналів будуть позначатись буквами латинської абетки , , , , . При цьому не буде спеціально підкреслюватись, що це не сам реальний сигнал, а його математична модель. Адже ж ці представлення адекватні. Позначені на узагальненій схемі системи зв'язку (див. рис. 1.1) сигнали в різних точках саме і є математичними моделями цих сигналів. Можна констатувати: у реальних каналах діють сигнали, а для розрахунків використовуються їх математичні моделі.

Класи сигналів і їх математичний опис. Розподіл сигналів на класи можна провести за різними ознаками:

за формою - прості та складні;

за інформативністю - детерміновані та випадкові;

за характеристиками - неперервні, дискретні та цифрові.

Математичною моделлю простого сигналу є проста функція часу. Із про­стих сигналів у системі електрозв'язку використовуються гармонічні сигна­ли, скінченні і нескінченні послідовності імпульсів, сигнали для досліджень електричних кіл (8-функція, функція ввімкнення) та ін.

Гармонічний сигнал, який часто називають гармонічним коливанням, за­писується у вигляді

для , (2.1)

де - максимальне значення (амплітуда); - циклічна частота; - період; - початкова фаза. Параметри гармонічного коливання добре видно із рис. 2.2. Зсув за фазою (рис. 2.2, б) веде до зсуву гармонічного коливання на час ліворуч. Початкова фаза розраховується як , циклічна частота . Досить часто для скоро­чення запису використовується кутова частота або .

Зазначимо, що гармонічне коливання є математичною абстракцією через те, що реальний сигнал не може бути не­скінченним. Але якщо час існування сигналу , то така математична модель, наприклад, вихідної напруги генератора, є придатною для різних розрахунків. Так, якщо з моменту ввімкнення генератора до моменту спосте­реження пройшло кілька мільйонів періодів коливань, то всі перехідні про­цеси давно скінчились. Можна вважати, що на виході генератора існує гармонічне коливання.

В електрозв'язку найбільше використовується періодична послідовність імпульсів, форма яких наближається до прямокутної. Для неї, крім наведених вище параметрів, уведене поняття щілинність, що визначається як відно­шення періоду до тривалості імпульсу: .

Нескінченно короткий відеоімпульс нескінченної амплітуди називається -функцією (читається дельта-функція), яка записується у вигляді

де - момент дії імпульсу. Ця функція має цікаву властивість:

яка фізично означає, що хоч значення -функції в точці нескінченне, але площина її скінченна і одинична. Використовується -функція для аналізу різних радіотехнічних кіл. Вона є математичною моделлю прямокутного імпульсу малої тривалості великої амплітуди.

Складні сигнали - це такі функції часу, для опису яких важко знайти про­сту математичну формулу. Приклад складного сигналу - відрізок розмовного сигналу інтервалом ()на рис. 2.1. Більшість реальних сигналів – це складні сигнали. Яким же чином для них підібрати придатний математичний вираз? І бажано такий, яким можна описати більшість сигналів.

Математиками знайдено таке рішення, яким широко користуються в електро- і радіотехніці. Так само, як будь-який будинок можна скласти із упоряд­кованого ряду простих конструкцій, так і сигнал можна подати у вигляді ряду деяких елементарних (простих) функцій , які називаються базисними:

, (2.2)

де - коефіцієнти розкладання в ряд, що залежать від .

Вибір системи базисних функцій залежить від виду сигналів і поставленої задачі. Але взагалі потрібно враховувати загальне правило - функції самі повинні бути простими, крім того забезпечувати прості

розрахунки коефіцієнтів та давати задовільну збіжність ряду (2.2) до сигналу . Вибір функції вважається тим кращим, чим менше потрібно складових ряду для подання сигналу із заданою похибкою:

.

Детерміновані та випадкові сигнали. Детермінованим є сигнал, що зада­ний такою функцією часу, за якою можна розрахувати його миттєві значення в будь-який момент часу. Прикладами таких сигналів є наведені раніше гармонічне коливання (2.1), відеоімпульси із відомими параметрами.

Детермінованих сигналів у природі взагалі не існує. Через безліч зовніш­ніх і внутрішніх дій на джерело (генератор) сигналів їх форма непередбачене змінюється. Тому реальні сигнали і завади завжди випадкові.

Випадковим називається сигнал, математичним описом якого є випад­кова функція часу. Фізично сигнал можна вважати випадковим, якщо неможливо точно передбачити чи розрахувати його миттєві значення. Завади системи зв'язку частіш за все є випадковими. Сигнали ж, у залеж­ності від обставин, можуть бути як детермінованими, так і випадковими. Випадкові сигнали не обов'язково є складними, вони можуть бути і прос­тими. Наприклад, на виході кодера одержуємо випадкову послідовність простих прямокутних імпульсів, що відображають випадкову послідовність букв на вході.

Слід зазначити, що тільки випадкові сигнали є переносниками інформа­ції. За визначенням, інформація - це якісь новини для одержувача. Але в детермінованому сигналі цих новин немає, сигнал повністю відомий. Немає новин - немає й інформації!

Властивості випадкових сигналів описуються математичним апаратом теорії ймовірності.

Неперервні, дискретні і цифрові сигнали. Сигнал, який є неперервною функцією часу і крім того його миттєві значення цілком заповнюють певний інтервал, тобто можлива нескінченна множина миттєвих значень (рис. 2.5, а), називають неперервним, або аналоговим. (Необхідно додержуватись двох умов!).

Спочатку в електрозв’язку використовувались переважно неперервні сигнали. Їх можна просто генерувати, підсилювати, передавати та приймати. Недоліком таких сигналів є те, що будь-які зміни їх форми через завади і спотворення призводять до зміни форми прийнятого повідомлення. Тому зростання вимог до точності відтворення повідомлень змусило перейти до дискретних та цифрових сигналів.

Дискретні сигнали - це сигнали, які можуть приймати скінченне число значень чи станів. Дискретні сигнали можливо одержати безпосередньо на виході перетворювача повідомлення → сигнал, чи сформувати із неперерв­ного сигналу. При цьому слід розрізняти дискретизацію за часом і за миттє­вими значеннями.

На рис. 2.5, б зображено сигнал, що існує тільки в дискретні моменти ча­су . Миттєві значення сигналу в ці моменти часу є неперервними, як і в аналоговому сигналі. Зображений на рис. 2.5, б сигнал називають дискрет­ним за часом.

Якщо сигнал неперервний за часом і дискретний за можливими миттєвими значеннями (рис. 2.5, в), то його називають квантованим. Звичайно, можна здійснити водночас як дискретизацію за часом, так і квантування (рис 2.5, г).

Цифрові сигнали - це різновид дискретних сигналів, які подано у вигляді послідовності цифр якого-небудь алфавіту. Цифровими є також сигнали на виході кодера дискретного повідомлення. Перевагами цифрових сигналів є більш висока завадостійкість та можливість їх формування й оброблення мікроелектронними пристроями. Тому цифрові сигнали все більш і більш використовуються в сучасних системах електрозв'язку.

2.2. РЯД ФУР'Є ДЛЯ ПЕРІОДИЧНИХ СИГНАЛІВ

Форми запису ряду Фур'є. Сигнал називається періодичним, якщо його форма циклічно повторюється через певний відрізок часу. Періодичний сигнал у загальному виді записується як

де - період сигналу. Періодичні сигнали можуть бути як простими, так і складними.

Для математичного опису періодичних сигналів можна користуватись рядом (2.2), в якому як базисні функції зручно вибрати гармонічні (синусоїд­ні і косинусоїдні) функції (коливання) кратних частот

(2.3)

де - основна кутова частота цих функцій. При гармонічних базис­них функціях із ряду (2.2) одержуємо широко відомий ряд Фур'є (його автор Жан Фур'є - французький математик і фізик XIX ст.).

Гармонічні функції виду (2.3), що використовуються в ряді Фур'є, мають такі переваги: 1) простий математичний опис; 2) інваріантність до лінійних перетворень, тобто, якщо на вході лінійної ланки діє гармонічне коливання, то і на її виході також буде гармонічне коливання, яке відрізняється від вхідного тільки амплітудою і початковою фазою; 3) як і сигнал, гармонічні функції періодичні і мають нескінченну тривалість; 4)техніка генерування гармонічних коливань досить проста.

З математики відомо, що для розкладання періодичного сигналу в ряд Фур'є за гармонічними функціями (2.3) необхідно, щоб для сигналу виконувались умови Діріхле. Але всі реальні сигнали задовольняють ці умови і тому їх можна завжди розкласти в ряд Фур'є, який може бути запи­саний однією з трьох наведених нижче форм:

, (2.4)

де коефіцієнти

, (2.5)

чи

, (2.6)

де

, (2.7)

чи в комплекснійформі

, (2.8)

де

. (2.9)

Із виразів (2.4) - (2.9)видно, що в загальному випадку періодичний сигнал містить у собі постійну складову та безліч гармонічних коливань із кратними частотами: основною , та її гармоніками , де . Кожне з гармонічних коливань ряду Фур'є характеризується амплітудою та початковою фазою . У конкретному сигналі, як правило, деякі з складо­вих можуть бути відсутні.

Спектральна діаграма і спектр періодичного сигналу. Якщо будь-який сигнал представлений як сума гармонічних коливань з різними часто­тами, то кажуть, що здійснено спектральний розклад сигналу.

Спектр сигналу - це сукупність гармонічних складових із конкретними значеннями частот, амплітуд і початкових фаз, які при додаванні дають цей сигнал.

Часто в технічній літературі спектральні діаграми називають більш коро­тко - амплітудний спектр, фазовий спектр. Найчастіше цікавляться амплі­тудним спектром, через те, що на ньому добре видно розподіл гармонічних складових у спектрі. Зазначимо, що спектр періодичного сигналу є дискрет­ним, тобто має складові на дискретних частотах.

Поиск по сайту: