Типові практичні завдання на екзамен з курсу

«Теорія ймовірностей та математична статистика»

1. Партія складається з 10 стандартних (С) і 5 нестандартних (Н) деталей. Із партії навмання беруть 5 деталей. Знайти ймовірність того, що серед узятих деталей 3 виявились стандартними. Знайти ймовірність зазначеної події, якщо деталі беруться з поверненням.

2. Набір трицифрового номера білета, який виграє, виконується триразовим автоматичним викиданням із ящика одного за одним трьох жетонів із загальної кількості 9 жетонів, пронумерованих цифрами від 1 до 9. Знайти ймовірність того, що набраний номер не містить цифри 7.

3. Партія складається з 20 виробів, з яких 8 виробів 1-го сорту, 6—2-го, 2—3-го сорту, а решта — браковані. Навмання беруть 4 вироби. Знайти ймовірність того, що серед них виявилося 2 вироби 1-го сорту, 1—2-го сорту і 1 бракований.

4. До ліфта дев’ятиповерхового будинку на 1-му поверсі зайшло троє пасажирів. Кожен із них з однаковою ймовірністю виходить на будь-якому з поверхів, починаючи з 2-го. Знайти ймовірність того, що всі пасажири:

1) вийдуть на 5-му поверсі;

2) вийдуть одночасно на одному з поверхів;

3) вийдуть на різних поверхах.

5. Із літер розрізного українського алфавіту було складено слово «АНАНАС», а далі всі літери кинуто в урну і ретельно перемішано. Знайти ймовірність того, що, беручи літери одну за одною й укладаючи їх підряд, знову дістанемо це слово.

6. Стержень завдовжки розрубують на дві частини. Знайти ймовірність того, що менша з частин, на які він поділяється, має довжину не менше як

7. У партії із 20 деталей 15 стандартних, а решта нестандартні. Навмання беруть чотири деталі. Знайти імовірність того, що серед них:

1) не більше як дві нестандартні;

2) усі чотири стандартні;

3) принаймні одна нестандартна

8. У цеху є три резервні мотори, для кожного з яких імовірність бути ввімкненим у даний момент дорівнює 0,3. Знайти ймовірність того, що в даний момент ввімкнено:

1) принаймні два мотори;

2) принаймні один мотор.

9. На двох верстатах-автоматах виробляються однакові заготівки, які транспортером перекидаються в те саме місце. Продуктивність другого верстата в 1,5 раза більша, ніж першого. Перший верстат дає 5 % нестандартних заготівок, а другий — 93 % стандартних. Знайти ймовірність того, що взята навмання заготівка буде:1) стандартна; 2) нестандартна.

10. Маємо дві партії деталей. Перша складається з 15 стандартних і 4 нестандартних, друга — із 10 стандартних і 3 нестандартних. Із першої партії береться одна деталь і перекладається у другу. Знайти ймовірність того, що деталь, яку після цього взяли із другої партії: 1) стандартна; 2) нестандартна.

11. У кошик, що містить 3 кулі, опущена чорна куля. Яка ймовірність того, що з кошика буде витягнута чорна куля, якщо всі припущення про початковий склад куль за кольором рівноможливі?

12. У двох корзинах баскетбольні та волейбольні м’ячі, причому у першій – 8 баскетбольних і 2 волейбольні, у другій – 6 баскетбольних і 3 волейбольні. З навмання вибраної корзини взяли м’яч. Яка ймовірність того, що: а) взяли волейбольний м’яч; б) м’яч, який виявився баскетбольним, взяли з першої корзини?

13. Митниця дає офіційну оцінку того, що 20 % усіх осіб, що повертаються з-за кордону, не декларують весь товар, на який накладається податок. Якщо випадково відібрати 6 осіб, які повертаються з-за кордону, то яка ймовірність того, що не менше двох з них не задекларують товар, який оподатковується?

14. Частка довгих волокон у партії бавовни становить у середньому 0,6 загальної кількості волокон. Скільки потрібно взяти волокон, щоб найімовірніше число довгих волокон серед них дорівнювало 40?

15. Ймовірність влучення стрільця в десятку 0,6. Чому дорівнює ймовірність того, що при 10 пострілах влучень у десятку буде:

а) 4 рази;

б) 0 разів;

в) 10 разів;

г) не менше 5 разів;

д) від 6 до 8 разів;

е) принаймні один раз?

16. Ймовірність пошкодження виробу при транспортуванні дорівнює 0,001. Знайти ймовірність того, що при транспортуванні 2 000 виробів буде пошкоджено:

а) 0;

б) 5;

в) не менше 6;

г) не більше 7;

д) від 3 до 5.

17. Ймовірність виготовлення бракованої деталі 0,2. Знайти ймовірність того, що серед 100 деталей бракованих буде:

а) 0;

б) 10;

в) не менше 10;

г) 20;

д) від 18 до 30;

е) 80;

є) від 80 до 100.

18. Побудувати закон розподілу і функцію розподілу числа влучень м’ячем у корзину при двох кидках, якщо ймовірність влучення дорівнює 0,4. Знайти

19. У скриньці 6 однакових виробів, причому 4 з них – пофарбовані. Зі скриньки навмання виймають 3 вироби. Записати закон розподілу випадкової величини – кількості пофарбованих виробів серед відібраних. Знайти функцію розподілу F (х) та побудувати її графік.

20. Завод відправив на склад 500 виробів. Ймовірність пошкодження виробу в дорозі дорівнює 0,002. Скласти закон розподілу випадкової величини – числа пошкоджених виробів. Знайти Знайти ймовірність того, що в дорозі буде пошкоджено виробів:

а) рівно три;

б) менше трьох;

в) більше трьох;

г) хоча б один.

21. З урни, в якій є п’ять білих та три чорні кулі, послідовно виймають кулі до появи білої. Випадкова величина – число витягань. Скласти закон розподілу випадкової величини , якщо відомо, що вийняті кулі повертали в урну. Знайти

22. Дискретна випадкова величина має розподіл

p	0,2	0,1	0,4	0,3

Знайти функцію розподілу ,

23. Задано функцію розподілу неперервної випадкової величини

Знайти: , . Знайти ймовірності . Побудувати графіки та

24. Задано щільність випадкової величини

Знайти: функцію розподілу , .

25. Неперервна випадкова величина розподілена рівномірно в проміжку випадкова величина має нормальний розподіл із щільністю . Знайти та , якщо і – незалежні випадкові величини.

26. Задано щільність випадкового вектора :

.

Знайти:

а)

б)

в) .

27. Задано закон розподілу випадкового вектора :

-1	0,05	0,25	0,1
	0,4	0,15	0,05

Знайти:

а) ;

б)

в)

г) .

28. Випадкова величина розподілена за показниковим законом з параметром , випадкова величина розподілена рівномірно на проміжку . Визначити: а) ; б) ; в) , якщо відомо, що і – незалежні випадкові величини.

29. Ймовірність запізнення пасажира на потяг 0,007. Оцінити ймовірність того, що із 20 000 пасажирів буде від 100 до 180 (включно) тих, що запізнилися. (за нерівностями Чебишова)

30. Монета підкидається 1 000 разів. Оцінити ймовірність того, що відхилення частоти появи герба від ймовірності появи герба за модулем менше, ніж 0,1.

31. Дано послідовність незалежних випадкових величин . Кожна випадкова величина може приймати значення: з ймовірностями рівними . Чи можна до цієї послідовності застосувати теорему Чебишова?

32. Знайти твірну функцію, випадкової величини , що розподілена за

а) біноміальним законом,

б) законом Пуассона,

в) геометричним законом.

33. Знайти закон розподілу випадкової величини , якщо відома твірна функція .

34. Знайти закон розподілу випадкової величини , якщо відома твірна функція

35. Знайти характеристичну функцію, що відповідає щільності

36. Характеристична функція випадкової величини має вигляд Визначити щільність

37. Знайти характеристичну функцію випадкової величини, що має

а) показниковий закон розподілу,

б) геометричний закон розподілу,

в) закон Пуассона та ін.

38. Знайти

39. Користуючись даними вибірки визначити вибіркове середнє, вибіркову дисперсію, асиметрію, ексцес, та побудувати гістограму

	0-2	2-4	4-6	6-8	8-10

40. В результаті випробування випадкова величина прийняла значення

Скласти інтервальну таблицю частот, розбивши проміжок на п’ять інтервалів однакової довжини. Побудувати гістограму, обчислити

41. Знайти методом моментів та найбільшої правдоподібності оцінку параметра біномного розподілу зі щільністю , по вибірці Довести незміщеність та ефективність оцінки . (аналогічні задачі на інші розподіли).

42. Ознака генеральної сукупності розподілена нормально. За вибіркою обсягу знайдено вибіркове середнє і виправлене середнє квадратичне відхиленням Оцінити невідоме математичне сподівання за допомогою інтервалу довіри з надійністю .

43. Знайти мінімальний обсяг вибірки, на підставі якої можна було б оцінити математичне сподівання випадкової величини з похибкою, яка не перевищує 0,2, і надійністю 0,98, якщо випадкова величина розподілена нормально з

44. Генеральна сукупність має нормальний розподіл. За вибіркою об’єму 25 знайдено . Знайти довірчий інтервал для невідомої дисперсії з надійністю 0,98, якщо математичне сподівання невідоме.

Поиск по сайту: