Тема: Залежність маси від швидкості

Література:

1. Ю.Б. Румер и М.С. Рывкин. Теория относительности. – М.: Учпедгиз, 1960, §10.

2. В.Г. Левич. Курс теоретической физики, т. 1. – М.: Наука, 1969, ч.1, §12.

3. Г.О. Бугаенко, М.Е. Фонкич. Електродинаміка і теорія відносності. –К.: Рад. школа, 1965, §108.

4. А.Н. Матвеев. Электродинамика и теория относительности. – М.: Высшая школа, 1964, §85.

5. А. Эйнштейн и Л. Инфельд. Эволюция физики. – М.: ОГИЗ, 1948, разд.3

У класичній фізиці маса вважається величиною абсолютною, що приймає одне й теж значення в будь-якій інерціальній системі відліку. Але у теорії відносності показується, що це не так: маса тіла – величина відносна, що залежить від швидкості руху і в різних інерціальних системах відліку має різні значення.

Імпульс і кінетична енергія в класичній механіці – і , являють собою дві різні міри руху. Кінетична енергія – величина скалярна, вона характеризує рух лише кількісно, імпульс, як векторна величина, – вказує й на напрямок руху.

Основний закон класичної механіки – другий закон Ньютона. Цей закон може бути записаний у вигляді рівняння, що пов’язує швидкість зміни імпульсу й силу, що діє на тіло:

(1)

Оскільки у класичній механіці масу незмінного тіла вважають сталою величиною, тоді її можна винести за знак похідної за часом та отримати іншу загальновідому формулу, що відображає зміст другого закону Ньютона:

(2)

Але слід відмітити, що, навіть у класичній механіці формулу (1) слід вважати більш загальною, ніж формулу (2), оскільки перша справджується і для тіл, маса яких змінюється під час їх руху (ракета, потяг із змінним вантажем і т.п.)

Помножимо обидві частини рівняння (2) скалярно на вектор швидкості частинки , тоді для тіла із незмінною масою ми отримаємо співвідношення:

(3)

Рівняння (1) і (3), що випливає з нього можна записати ще й так:

(4)

або (5)

Таким чином, швидкість зміни імпульсу тіла дорівнює діючій на тіло силі, а швидкість зміни кінетичної енергії дорівнює роботі цієї сили за одиницю часу (потужності).

Надзвичайно плідним введення поняття імпульсу й енергії тіла виявилось під час їх розгляду в інших розділах фізики.

Передбачений Максвелом та експериментально обґрунтований Лєбєдєвим тиск світла показав, що світло (взагалі електромагнітні хвилі), як будь-яка інша рухома матерія, володіє імпульсом і як наслідок, масою.

Поширення поняття енергії на інші форми руху (теплова, електромагнітна та інші) призвело до встановлення фундаментального закону природи – закону збереження й перетворення енергії.

Зрозуміло, що під час дослідження законів руху тіл в релятивістській області (тобто руху із великими швидкостями) на першому плані опиняться поняття імпульсу і енергії тіла.

Перш ніж ми перейдемо до пошуку закону руху тіла із великими швидкостями, зауважимо, що другий закон Ньютона записаний у форі (2) не може бути вірним у релятивістській області простору. У класичній фізиці маса вважалась незмінною величиною. Але це справедливо лише при малих швидкостях руху. На це вказує дослід сучасної техніки прискорення заряджених елементарних частинок. Експеримент показує, що при великих швидкостях маса рухомого тіла повинна залежати від абсолютної величини його швидкості: ; .

Вигляд цієї функціональної залежності може бути однозначно встановлений, якщо використати закон збереження імпульсу у релятивістській теорії додавання швидкостей.

Для досягнення цієї мети розміркуємо так, як це в свій час вперше зробив Толмен.

Нехай відбувається пружній співудар двох однакових шарів А і В, причому у системі К швидкості шарів до удару рівні за величиною і протилежні за напрямком.

Якщо ми позначимо проекції швидкості шару А на вісі і відповідно через і , то відповідні проекції швидкості шару В будуть рівні і .

Нехай внаслідок співудару „ -ові” проекцій швидкостей обох шарів залишаються незмінними, а „ -ові” проекції змінюють знак, тобто шари розлітаються у напрямках вказаних пунктирними стрілками, так як це показано на малюнку.

Тоді у системі відліку К (нерухомій) ми матимемо наступну таблицю для проекцій швидкостей шарів А і В до і після удару:

У цій системі відліку сумарний імпульс до і після удару дорівнює нулю. Проекції на вісі і відповідно дорівнюють:

Перейдемо тепер до рухомої системи , використовуючи релятивістський закон додавання швидкостей:

Підставляючи значення і до і після удару в ці формули, отримаємо проекції швидкостей для системи таблицю:

Шар	до удару	після удару
v’ x	v’ y	v’ x	v’ y
А
В

Таким чином, у системі шар А до і після удару рухається вздовж вісі і картина удару буде наступною:

Абсолютні величини швидкостей шарів в системі до і після удару не змінюються і дорівнюють ,

для шару А: , для шару В:

Запишемо закони збереження імпульсу у системі . Легко побачити, що для проекцій імпульса на вісь закон збереження виконуються тотожно, а саме:

,

А закон збереження імпульса на вісь дає рівняння:

,

або

Для отримання функції поділимо останнє функціональне рівняння на спільний множник , отримаємо: .

Ця рівність повинна виконуватись тотожно за будь-яких значень і .

Як частковий випадок, нехай =0, ми отримаємо:

(6),

де – стала величина, яку зрозуміло необхідно назвати масою спокою.

Для того, щоб остаточно отримати функціональну залежність , позначимо

. Поділимо обидві частини цього рівняння на швидкість світла :

.

Додамо й віднімемо обидві частини цього рівняння від одиниці та отримаємо дві рівності:

;

Перемножимо ліві й праві частини цих рівностей:

,

отримаємо:

.

Якщо добути квадратний корінь, тоді матимемо:

Отриману рівність врахуємо у рівнянні (6) й отримаємо остаточно вигляд функціональної залежності маси від швидкості:

(7).

З функціональної залежності видно, що з ростом швидкості тіла маса його збільшується за законом (7) та при наближенні швидкості тіла до швидкості світла у вакуумі зростає безмежно. Але співвідношення (7) ми можемо трактувати й по іншому. Згідно цієї формули маса тіла є величиною відносною: оскільки в різних системах відліку швидкість тіла різна, то й маса тіла на підставі рівняння (7) є різною в різних системах відліку.

Інваріантною величиною є лише маса спокою. Із урахуванням формули (7) ми можемо записати вираз для релятивістського імпульсу у вигляді:

(8).

Тобто, в релятивістській області між імпульсом тіла й швидкістю вже немає прямої пропорційної залежності, як у класичній фізиці, а існує більш складна залежність, що відображена формулою (8).

Поиск по сайту: