Теоретическая часть. Имеем уравнение f(x)=0, приведем его к удобному виду φ(x)=x, проделав, например, такие операции: f(x)=0 → x+f(x)=x

Имеем уравнение f(x)=0, приведем его к удобному виду φ(x)=x, проделав, например, такие операции: f(x)=0 → x+f(x)=x, где x+f(x)=φ(x), получим, что φ(x)=x. Функция φ(x) называется итерационной функцией.

Для поиска корня следует выбрать начальное приближение x0 такое, чтобы оно лежало как можно ближе к искомому корню ξ. Последующие приближения вычисляются по итерационной формуле: xn+1=φ(xn). Итерацией называется последовательность действий, в которой полученное значение на предыдущем шаге используется для поиска следующего значения на последующем шаге. Итерациями часто называют и сами полученные на каждых шагах значения xn.

Теорема (о сходимости метода простой итерации): Пусть в некоторой - окрестности корня ξ функция φ(x) дифференцируема и удовлетворяет условию |φ‘(x)|≤q, где 0≤q<1 – постоянная. Тогда независимо от выбора начального приближения из окрестности ξ, итерационная последовательность не выходит из этой окрестности, метод сходится со скоростью геометрической прогрессии, и для метода справедлива оценка погрешности:

Критерий окончания итерационного процесса:

, где ε – заданная точность. Если величина 0<q≤0,5, то очевидно, что при более простом критерии: |xn - xn-1|<ε, метод будет сходиться быстрее.
Практична робота №19

Тема: Створення алгоритму для методу ітерацій

1. Мета: Отримати теоретичні знання щодо методу ітерацій, навчитися будувати блок-схему алгоритму цього методу та використовувати метод для знаходження коренів рівняння на проміжку.

2. Теоретичні відомості

Рівняння типу F (x) = 0 або x = f (x) називається нелінійним. Розв'язати рівняння це означає знайти таке x, при якому рівняння перетворюється в тотожність. У загальному випадку рівняння може мати 0; 1; 2;... ∞ коренів. Розглянуті нижче чисельні методи рішення нелінійних рівнянь дозволяють знаходити один корінь на заданому інтервалі [a, b]. При цьому на інтервалі повинен бути лише один корінь.

У ряді випадків досить зручним прийомом уточнення кореня рівняння є метод послідовних наближень (метод ітерацій).

Нехай з точністю необхідно знайти корінь рівняння f (x) = 0, що належить інтервалу ізоляції [a, b]. Функція f (x) та її перша похідна неперервні на цьому відрізку.

Для застосування цього методу вихідне рівняння f (x) = 0 має бути наведено до виду

В якості початкового наближення 0 вибираємо будь-яку точку інтервалу [a, b].

Далі ітераційний процес пошуку кореня будується за схемою:

(1)

У результаті ітераційний процес пошуку реалізується рекурентної формулою(1). Процес пошуку припиняється, як тільки виконується умова

або кількість ітерацій перевищить задане число N.

Для того, щоб послідовність х₁, х₂,..., х_n наближалася до шуканого кореня, необхідно, щоб виконувалося умова збіжності:

Рис. 1. Геометричний сенс методу

Поиск по сайту: