ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАВИСИМОСТИ. Учебное пособие к выполнению РГР

Лобанов Н.В.

Морозов А.С.

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Учебное пособие к выполнению РГР.

Часть I

Северодвинск

УДК 539.3/.8

Лобанов Н.В., Морозов А.С.

Сопротивление материалов. Учебное пособие к выполнению РГР. Часть I.

Северодвинск. Севмашвтуз, 2003.- с.

Учебное пособие содержит подробно разобранные задачи по основным разделам курса сопротивления материалов, которые могут быть использованы студентами при самостоятельном выполнении расчетно-графических работ (РГР). В начале каждого раздела приведены основные положения и зависимости рассматриваемой темы.

Учебное пособие предназначено для студентов всех специальностей, изучающих курс «Сопротивление материалов».

Ответственный редактор: к. т. н., доц. кафедры «Проектирование подъемно-транспортного и технологического оборудования» Севмашвтуза Лобанов Н.В.

Рецензенты: д. т. н., профессор кафедры «Прикладная механика» АГТУ Прокофьев Г.Ф.;

к.т.н., доцент кафедры «Сопротивления материалов» АГТУ

Лицензия на издательскую деятельность

Код 221. Серия ИД №01734 от 11 мая 2000 года

ISBN 5-7723- Ó СЕВМАШВТУЗ, 2003

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ

Сопротивление материалов – основополагающая дисциплина инженерной подготовки по механическим, машиностроительным, строительным, транспортным и другим специальностям высших технических учебных заведений. В контрольных заданиях сборника рассматриваются схематизированные типовые элементы машиностроительных, строительных, транспортных и других конструкций, которые и предлагаются к расчету на прочность, жесткость и устойчивость.

В учебном пособии подробно рассмотрены решения типовых задач по основным разделам курса «Сопротивления материалов» что позволяет использовать его выполнения домашних заданий расчетно-графических работ. Сборник предназначен для использования при изучении курса «Сопротивление материалов», а также для курсов «Прикладная механика», «Техническая механика», имеющих раздел «Сопротивление материалов» студентами всех специальностей.

РАЗДЕЛ II

ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ) СТЕРЖНЕЙ.

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАВИСИМОСТИ.

Центральным растяжением (сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только нормальная (продольная) сила N остальные силовые факторы равны нулю. В дальнейшем центральное растяжение (сжатие) коротко называется просто растяжением (сжатием). Нормальная (продольная) сила в поперечном сечении представляет собой равнодействующую нормальных внутренних сил распределенных по площади поперечного сечения и связана с нормальными напряжениями в этом сечении зависимостью: . Принято считать положительной нормальную силу, вызывающую растяжение, отрицательной нормальную силу, вызывающую сжатие. Нормальные силы в поперечных сечениях определяют методом сечений. Считается что при растяжении (сжатии) справедлива гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли) следовательно, нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня распределены равномерно и , где - площадь поперечного сечения. Положительным считается растягивающее нормальное напряжение. Согласно гипотезе плоских сечений материал стержня при растяжении (сжатии) находится в линейном напряженном состоянии. На основании закона Гука относительное удлинение бесконечно малого участка стержня: , где модуль продольной упругости материала (модуль Юнга). Полное удлинение стержня в общем случае, когда нормальная сила и площадь поперечного сечения меняются по длине: , где - длина стержня. В частном случае, когда нормальная сила и площадь по длине постоянны: . Для ступенчатого стержня полное удлинение вычисляется как сумма удлинений его участков: , где соответственно длина, площадь поперечного сечения, нормальная сила на i - том участке.

Растяжение (сжатие) сопровождается изменением поперечных размеров стержня. Между относительной поперечной - и относительной продольной - деформациями при растяжении (сжатии) существует связь , где - коэффициент Пуассона (коэффициент поперечной деформации) является константой материала. Знак «-» в уравнении отражает тот факт, что и всегда имеют противоположные знаки.

Условия прочности для стержней работающих на растяжение сжатие записываются для опасных сечений стержня, в которых действуют наибольшие по величине растягивающие и сжимающие напряжения. В случае, когда материал стержня имеет одинаковую прочность на растяжение и сжатие достаточно одного условия прочности , где допускаемое напряжение для материала стержня. Если материал стержня имеет разную прочность при растяжении и сжатии необходимо выполнение одновременно двух условий прочности: , , где , - допускаемые напряжения для материала стержня соответственно на растяжение и сжатие.

Статически неопределимыми системами называются такие системы, в которых количество неизвестных сил (реакций, внутренних силовых факторов) превышает число уравнений равновесия. Степенью статической неопределимости n называется разность между r - количеством неизвестных и u - числом уравнений статики: . В статически неопределимых задачах не удается определить силовые факторы из условий равновесия и прежде чем решать задачи прочности и жесткости необходимо раскрыть статическую неопределимость. Общий принцип раскрытия статической неопределимости заключается в том, что в дополнении к имеющимся уравнениям равновесия всегда можно составить n условий совместности деформаций (совместности перемещений). Условия совместности деформаций (перемещений) связывают между собой деформации отдельных элементов системы или перемещения ее точек. Затем в условиях совместности деформации (или перемещения) выражаются через внутренние усилия, которые в свою очередь могут быть выражены методом сечений через внешние силы. После решения условий совместности вместе с уравнениями равновесия относительно неизвестных усилий, статическая неопределимость будет раскрыта.

Для реальных стержней на основании принципа Сен-Венана гипотеза плоских сечений справедлива лишь вдали от мест приложения внешних сосредоточенных нагрузок и мест изменения размеров и формы поперечного сечения.

ЗАДАЧА №1

Задание: Для заданного чугунного стержня (рис.1) из условия прочности подобрать площадь поперечного сечения. Построить эпюру перемещений сечений стержня.

Исходные данные:

l = 150 мм; P₁ = 3Р; P₂ = Р; Р = 100кН; площади поперечных сечений участков - А₁= 2F, А₂= 3F. Материал стержня чугун СЧ21-40, Е=120000 МПа, s_вр = 210 МПа, s_вс = 1000 МПа. Коэффициент запаса прочности для чугуна n = 2.

Решение:

1).Определим допускаемые напряжения для материала стержней:

2). Рассмотрим равновесие стержня, отбросив заделки и заменив их неизвестными реакциями R₁, R₂ (см. рис.2) для их определения имеется 1 уравнения равновесия из которого следует . Таким образом, система один раз статически неопределима.

3). Далее, для раскрытия статической неопределимости следует составить уравнение совместности деформаций, в рассматриваемом примере таким уравнением может быть: - (1) - отражающее тот факт, что из-за наличия жестких опор длина стержня не изменяется. Удлинения участков стержня можно выразить по закону Гука через нормальные силы в сечениях:

; ; ; , нумерация участков принята снизу вверх. Нормальные силы выразим через неизвестные реакции и внешнюю нагрузку методом сечений: проводя произвольное поперечное сечение в пределах каждого из участков, отбрасываем любую часть и заменяем ее реакцией взаимодействия частей, которая и является нормальной силой (см. рис.2). Примечание: неизвестные нормальные силы в сечениях следует показывать всегда в положительном направлении, то есть так, чтобы они были растягивающими. Из условий равновесия рассматриваемых частей находим нормальные силы: ; ; ; (2).

Подставляя выражения для нормальных сил в выражения для удлинений участков, а затем в уравнение совместности деформаций получим следующее уравнение: - (2), разрешая которое относительно R₁ найдем - . Таким образом, статическая неопределенность раскрыта.

Теперь можно рассчитать нормальные силы:

; ; ; , и выразить нормальные напряжения в сечениях: ; ; ; - (3). Теперь необходимо записать два условия прочности:

а). По максимальным сжимающим напряжениям откуда требуемая площадь определится как ; б). По максимальным растягивающим напряжениям откуда требуемая площадь определится как . Так как должны выполнятся одновременно оба условия прочности то следует принять площадь . Тогда напряжения ; ; ; . По рассчитанным значениям построим эпюры N и s (см. рис3).

Вычисляем удлинения участков стержней: ; ; ; . Убедимся что, условие совместности деформаций выполняется - . Строим эпюру d - смещений поперечных сечений стержня. Примем за отсчетное сечение нижнюю заделку стержня, а за положительное направление смещение сечений вверх, тогда если участок стержня растягивается, то его сечения перемещаются в положительном направлении. Легко доказать, что при N = const эпюра смещений в пределах участка будет линейной, следовательно, для построения эпюры смещений достаточно вычислить перемещения сечений находящихся на границах участков. Смещение верхней границы 1-го участка - , 2-го - , 3-го - .

По рассчитанным значениям строим эпюру d (см. рис.3), учитывая, что на границах участков разрыва эпюры быть не может и в заделках перемещение равно нулю.

Более сложная постановка задачи. (с учетом температурных и монтажных напряжений).

Будем считать, что температура стержня после сборки была повышена на DТ = 200°. В свободном (незакрепленном) состоянии удлинился бы на величину - D_Т = a×DТ×L_п, где a=1.1×10^-5 град^-1- коэффициент линейного расширения материала стержня (СЧ21-40), L_п=6l – полная длина стержня: . Закрепления стержня не позволяют ему удлинится и при повышении температуры стержень окажется сжатым на величину D_Т (при понижении температуры соответственно растянутым). Тогда уравнение совместности деформаций (1) перепишется в виде (1¢). Используя принцип суперпозиции нагрузок, найдем отдельно напряжения возникающие при изменении температуры и затем сложим их с напряжениями от внешней нагрузки, которые были найдены ранее. При отсутствии внешних нагрузок уравнение (2) предстанет в виде: где реакция возникающая только от изменения температуры. Решая это уравнение, найдем , при этом нормальные силы: тогда нормальные напряжения, возникающие только от изменения температуры , , , . Заметим, что эти напряжения не зависят от величины площади поперечных сечений и условие прочности выполняется , (если это условие не выполняется то прочность стержня за счет подбора площади сечений обеспечить невозможно, необходимо уменьшать температурные напряжения). Складывая температурные напряжения с напряжениями от внешней нагрузки (3) получим следующие выражения:

; ; ; - (3¢).

Теперь снова определим площадь поперечных сечений из условий прочности. Анализ выражений (3¢) показывает, что теоретически растянутым может оказаться только участок №3, записывая для него условие прочности определим площадь . Максимальное сжимающее напряжение будет действовать в участке №2 или №4. Записывая условия прочности участка №2 найдем площадь . Из условия прочности для участка №4 площадь . Для удовлетворения одновременно всем условиям прочности мы должны принять площадь . Интересно отметить, что при одновременном действии внешних нагрузок и температуры площадь поперечного сечения необходимая для обеспечения прочности оказывается существенно меньше, чем в первом варианте. Это объясняется тем, что при действии только внешних сил опасным является растянутый 3-й участок, при повышении температуры все участки испытывают дополнительное сжатие и опасным становится сжатый участок №4 чугун же имеет большую прочность на сжатие чем на растяжение. Окончательно принять площадь можно только в случае если внешняя нагрузка и температура изменяются синхронно. Если же нагрузки могут прикладыватся по отдельности, то опасным состоянием в рассматриваемом примере будет действие только внешних сил и следует принять .

Примечание. Точно так же решается задача в случае монтажных напряжений, когда стержень имеет начальную длину, отличающуюся от номинальной (равной расстоянию между опорами) на величину D. Во всех вышеприведенных расчетах нужно D_Т заменить на D. Величина D - считается положительной, если начальная длина стержня больше номинальной.

ЗАДАЧА №2

Задание: Для стержневой конструкции (рис.1) из условия прочности подобрать максимально допускаемую внешнюю нагрузку (выраженную через q).

Исходные данные: F = 300 мм²; l = 600 мм; a = 1000 мм; P₁ = 3 qa; Материал стержней чугун СЧ32-52, Е=1.1×10⁵ МПа, s_вр = 320 МПа, s_вс = 1200 МПа. Определим допускаемые напряжения для материала стержней:

Решение: Рассмотрим равновесие абсолютно жесткого бруса, отбросив стержни (рис.2). В данном случае рациональнее заменить отброшенные стержни нормальными силами N₁, N₂, N₃, возникающими в них (примечание: неизвестные нормальные силы в стержнях следует показывать всегда в положительном направлении, то есть так, чтобы они были растягивающими). Имеется 3 уравнения равновесия и 4 неизвестных: N₁, N₂, Y_B, X_B, следовательно, система один раз статически неопределима. Из трех уравнений равновесия имеет смысл составить только одно, содержащее нужные неизвестные N₁, N₂, в данном случае это:

. Необходимо составить одно уравнение совместности деформаций. Для этого рассмотрим возможное деформированное состояние конструкции В данном случае таким состоянием будет поворот жесткого бруса вокруг шарнира В, показанное на рис.3 (совершенно необязательно, чтобы выбранное направление перемещения и поворота совпадало с действительным). Шарниры А, С займут новые положения А₁, С₁, их вертикальные перемещения обозначим соответственно y_а, y_с. (В силу малости перемещений и деформаций можно заменить дуги окружностей, по которым перемещаются шарниры, вертикальными отрезками АА₁ и СС₁. Кроме того, можно считать, что углы наклона стержней не изменились). Очевидно, что перемещения y_а, y_с связаны между собой условием, , которое получается из подобия треугольников АВА₁ и ВСС₁. Очевидно, что эти перемещения связаны с абсолютными удлиннениями стержней следующими зависимостями: , (3), знак «-» учитывает, что первый стержень сжат. Эти зависимости получены из рассмотрения рис.4.

Следовательно: и выражая ΔL по закону Гука, получим: . Учитывая, что F₁ = F, F₂ = 2F, l₁ = l/sin45°, l₂ = 2l/sin60° получим:

или подставляя значения (4). Подставляя (4) в выражение (1) выразим нормальные силы в стержнях:

. Нормальные напряжения в стержнях выразятся следующим образом:

(5). Из условий прочности определим допускаемую внешнюю нагрузку. Для первого стержня, следовательно:

. Для второго стержня: (здесь учтено, что при составлении условия прочности по сжимающим напряжениям расчетные напряжения всегда берутся по модулю, так как допускаемые напряжения всегда положительны), следовательно: . Из двух нагрузок выбираем меньшую, так как должны выполнятся условия прочности для обоих стержней, таким образом, окончательно принимаем максимально допускаемую внешнюю нагрузку .Для проверки вычислим напряжения в стержнях: - условие прочности выполнено для обоих стержней.

Более сложная постановка задачи. (с учетом монтажных напряжений)

Будем считать, что стержень №1 до сборки конструкции имел длину отличающуюся от номинальной на малую величину D = - 0.6 мм (знак “-” означает, что начальная длина меньше номинальной). Используя принцип суперпозиции нагрузок, найдем отдельно монтажные напряжения и затем сложим их с напряжениями возникающими от внешней нагрузки. При отсутствии нагрузок уравнение равновесия (1) предстанет в виде:

. Уравнение (3) для 2^-го стержня не изменится, а для 1^-го запишется в виде: , см. рис.5 (на рис.5 формально показана ситуация соответствующая положительному D). Уравнение совместности деформаций тогда запишется в виде:

.

Подставляя (1¢) в последнее выражение после элементарных преобразований получим:

Подставляя значения, вычислим нормальные силы и монтажные напряжения в стержнях:

. Оба стержня после монтажа растянуты (здесь важно отметить, что условия прочности выполнены для обоих стержней, то есть при монтаже их прочность не нарушена). Добавляя монтажные напряжения к напряжениям, возникающим от внешних нагрузок (5) получим выражения для суммарных напряжений в стержнях нагруженной конструкции: . Для определения допускаемой внешней нагрузки можно записать условия прочности для обоих стержней. Очевидно, что первый стержень растянут и из условия прочности для него:

.

Со вторым стержнем дело обстоит сложнее, он может оказаться как сжатым, так и растянутым в зависимости от величины параметра внешней нагрузки – q, и в принципе для второго стержня можно записать условия прочности, как на сжатие так и на растяжение. Однако, если второй стержень растянут (второе слагаемое по модулю больше первого), то наибольшее растягивающее напряжение не превосходит 14МПа (= 14МПа только при отсутствии внешней нагрузки) и меньше допускаемого напряжения на растяжение. Следовательно, для второго стержня имеет смысл записать только условие прочности на сжатие:

(при подстановке в условие прочности берется модуль напряжения s₂ следовательно меняются на противоположные, знаки у обоих слагаемых в его выражении). Из двух полученных нагрузок выбираем меньшую, таким образом, окончательно принимаем максимально допускаемую внешнюю нагрузку .

Для проверки вычислим напряжения в обоих стержнях:

Условия прочности выполняются для обоих стержней, следовательно, самый опасный стержень был выбран правильно. Удлиннения стержней можно определить по формулам:

Перемещения: удовлетворяют условию совместности перемещений (2). (З нак «-» означает, что действительные перемещения шарниров противоположны показанным на рис.2).

ЗАДАЧА №3

Задание: Для стержневой конструкции (рис.1) из условия прочности подобрать максимально допускаемую внешнюю нагрузку (выраженную через q). При найденной нагрузке определить перемещение точки приложения силы P₁.

Исходные данные: F = 700 мм²; l = 500 мм; a = 500 мм; P₁ = qa; P₂ = 3 qa; M₁ = 2 qa ². Материал всех стержней Сталь 5, с пределом текучести s_т = 270 МПа; E=2×10⁵ МПа.

Определим допускаемое напряжение для материала стержней (принимая для стали коэффициент запаса прочности n = 1.5).

.

Решение:

Рассмотрим равновесие абсолютно жесткого бруса, отбросив стержни (рис.2). В данном случае рациональнее заменить отброшенные стержни нормальными силами N₁, N₂, N₃, возникающими в них (неизвестные нормальные силы в стержнях следует показывать всегда в положительном направлении, то есть так, чтобы они были растягивающими). Для 3-х неизвестных сил можно составить 2 уравнения равновесия:

Следовательно, задача 1 раз статически неопределима, и необходимо составить одно уравнение совместности деформаций. Для этого рассмотрим возможное деформированное состояние конструкции (возможное означает допускаемое связями и включающее перемещение по всем возможным степеням упругой подвижности). В данном случае таким состоянием будет вертикальное поступательное перемещение жесткого бруса и его поворот, показанное на рис.3 (совершенно необязательно, чтобы выбранное направление перемещения и поворота совпадало с действительным). Шарниры А, В, С займут новые положения А₁, В₁, С₁, их вертикальные перемещения обозначим соответственно y₁, y₂, y₃. Очевидно, что эти перемещения связаны между собой условием, которое получается из рассмотрения трапеции АВСА₁В₁С₁: . Очевидно, что эти перемещения связаны с абсолютными удлинениями стержней: , откуда следует условие совместности деформаций: .

Выражая удлинения стержней по закону Гука, получим дополнительное уравнение связывающее нормальные силы в стержнях:

.

Решая совместно уравнения (1), (2), (5) выразим нормальные силы в стержнях: (для проверки следует убедится, что полученные нормальные силы удовлетворяют исходным уравнениям). Нормальные напряжения в стержнях выразятся следующим образом, чтобы их можно было сравнить в общем виде:

.

Так как материал стержней имеет одинаковую прочность на растяжение и сжатие, то опасным будет третий стержень (с наибольшим по модулю напряжением). Из условия прочности для 3-го стержня определим допускаемую внешнюю нагрузку, выраженную через q:

. Тогда внешние силы будут равны:

P₁ = 132.6×500 = 66300Н = 66.3кН; P₂ = 3×132.6×500 = 199000Н = 199кН; M₁ = 2×132.6×500² = 6.63×10⁷ Н×мм = 66.3кН×м.

Напряжения: ; ; , действующие в стержнях удовлетворяют условиям прочности.

Более сложная постановка задачи. (с учетом монтажных напряжений)

Будем считать, что стержень №2 до сборки конструкции имел длину, отличающуюся от номинальной на малую величину D = 0.5 мм (знак “+” означает, что начальная длина стержня больше номинальной). Уравнения (1), (2), (3) останутся без изменений, изменится только зависимость между перемещением шарнира B и удлинением стержня №2: , тогда уравнение совместности деформаций (4) перепишется в виде: , (смотри рис.4). Используя закон Гука, получим: , откуда выразим: . Решая совместно (1), (2), (5¢) выразим нормальные силы и напряжения в стержнях:

; ; .

Вычисляя величины вторых слагаемых в выражениях для напряжений (DE/ l = 200 МПа.):

убеждаемся, что монтажные напряжения не превосходят допускаемых и следовательно условие прочности при сборке конструкции не нарушается.

Очевидно, что стержень №2 сжат, из условия прочности второго стержня допускаемую внешнюю нагрузку, выраженную через q:

Стержни №1 и №3 могут оказаться как сжатыми, так и растянутыми, в зависимости от величины параметра внешней нагрузки – q, однако, проводя анализ (смотри предыдущую задачу)можно установить, что в любом случае напряжения сжатия в этих стержнях не превосходят соответственно 31.8 МПа и 14.2 МПа. Следовательно, для стержней №1 и №3 достаточно записать только условия прочности на растяжение, кроме того, очевидно, что наибольшее растягивающее напряжение будет в стержне №3. Определим из условия прочности третьего стержня допускаемую внешнюю нагрузку, выраженную через q:

Учитывая, что должны выполнятся оба условия прочности, принимаем наименьшее значение q_max = 143.1 Н/мм. Тогда внешние силы будут равны:

P₁ = 143.1×500 = 71550Н = 71.55кН; P₂ = 3×143.1×500 = 214650Н = 214.65кН; M₁ = 2×143.1×500² = 7.16×10⁷ Н×мм = 71.6кН×м.

Для проверки найдем напряжения в стержнях и убедимся, что условия прочности выполняются:

.

Удлиннения стержней: ;

;

Перемещение шарниров А, В, С соответственно: ;

; - удовлетворяют условию совместности (3). З нак «-» означает, что действительные перемещения шарниров противоположны показанным на рис.4.

РАЗДЕЛ III

СДВИГ. РАСЧЕТЫ ПРОЧНОСТИ ПРИ СРЕЗЕ И СМЯТИИ.

Поиск по сайту: