Мультипликативная и аддитивная терминология

Мультипликативная: Обозначение (X). Операцию называют умножением. Обозначают знаком•(точка). Результат называют произведением. Нейтральный элемент называют единичным и обозначают e или 1.Элемент, Симметричный элементу a, называют обратным и обозначают a⁻¹.

Аддитивная: операция называется сложением. Обозначается знаком +. Результат называется суммой. Нейтральный элемент называется нулевым и обозначается 0. Элемент, симметричный элементу a, называется противоположным и обозначается −a.

Лекция 15-16. Кольца и поля вопросы 21

Понятие кольца. Подкольца. Обычно на одном и том же множестве X задано несколько бинарных алгебраических операций ∗,◦ и т.д., причём между этими операциями имеется, как правило, не которая связь.

Определение 1. Говорят, что операция ∗ дистрибутивна относительно операции ◦, если

(a◦b)∗c=(a∗c)◦(b∗c),c∗(a◦b)=(c∗a)◦(c∗b) для любых элементов a,b,c∈X.

Определение 2. Множество R, на котором заданы две операции +(сложение) и•(умножение), называется кольцом, если выполнены следующие условия:

а) (R,+)—абелева группа;

б) (R,•)—полугруппа;

в) операция умножения дистрибутивна относительно операции сложения: (a+b)c=ac+bc,c(a+b)=ca+cb для любых элементов a,b,c∈R.

Если операция умножениякоммутативна, то кольцо R принято называть коммутативным. Если же полугруппа (R,•) является моноидом, то кольцо R называют кольцом с единицей. Иногда условие б) в определении кольца опускают или заменяют каким-то другим условием; в таких случаях говорят о не ассоциативных кольцах. Группу(R,+)называют аддитивной группой кольца R, а полугруппу(R,•)—его мультипликативной полугруппой. Если R—кольцо с единицей, то имеет смысл говорить о мультипликативной группе R∗ всех обратимых элементов кольца R.

Определение 3. Если в кольце R имеем ab=0 при a ≠ 0, b ≠ 0, то a называется левым, а b правымделителем нуля. Если таких элементов нет, то R называется кольцом без делителей нуля.

Определение 4. Коммутативное кольцо с единицей e ≠ 0, в котором нет делителей нуля, называется областью целостности или целостным кольцом.

Определение5. Подмножество L⊂R называется под кольцом кольца R, если относительно операций в кольце R оно само является кольцом.

Тривиальные подкольца — это нулевое подкольцо {0} и само кольцо R

Поля:

Определение 1. Ненулевое коммутативное кольцо F с единицей, в котором каждый не нулевой элемент обратим, называется полем.

Определение 2. Подмножество L⊂F называется подполем поля F, если относительно операций в поле F оно само является полем. Иными словами, подполе – это подкольцо L, содержащее 1 и обладающее свойством: если 0, то получим характеристический признак подполя.

Теорема 2. Подмножество L⊂F будет подполем тогда и только тогда, когда выполнено следующее условие: если a,b ∈ L, то a−b∈L, ab∈L и b⁻¹∈L (при b ).

Определение 3. Изоморфизм f:F→F называется автоморфизмом поля F.

Комплексные числа. Билеты 22-23.

Соответствующую алгебраическую структуру (R2,+,·) обозначим через C, а её элементы z=(a,b) будем называть комплексными числами.

Операция умножения комплексных чисел коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна относительно операции сложения. z₁z₂=z₂z₁, (z₁z₂)z₃=z₁(z₂z₃), z₁(z₂+z₃)=z₁z₂+z₁z₃

Комплексное число (1,0) – единичным элементом: z=(a,b), то (1,0)z=(1,0)(a,b)= (a,b) = z. Комплексное число i=(0,1) принято называть мнимой единицей, что связано со свойством: i²+1=0. Действительно, имеем i²+1=(0,1)(0,1)+(1,0)=(−1,0)+(1,0)=(0,0)=0

Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме: z = *((cos&) + i(sin&)), где – это модуль комплексного числа, а &(фи) – аргумент комплексного числа.

1) Если a > 0 (1-ая и 4-ая координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле argz = arctg b/a.

2) Если a < 0, b > 0 (2-ая координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле argz = pi + arctg b/a.

3) Если a <0, b < 0 (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле argz = -pi + arctg b/a.

Комплексное число в показательной форме записывается строго по форме z = *e^i&. (формула Эйлера)

Поиск по сайту: