Метод Гаусса

Нехай дано систему m лінійних рівнянь з n невідомими

Серед цих рівнянь можуть бути такі, що

Далі вважатимемо, що система має розв’язок, тобто сумісна.

Якщо , то рівняння не задовольняє ніякі значення . У цьому разі система не має розв’язку, вона несумісна.

Якщо , то це рівняння задовольняють будь-які значення .

При цьому вираз називають не рівнянням, а тотожністю і записують . Тотожність можна вилучити із системи. При цьому решта рівнянь матиме ті самі розв’язки, що і раніше. Говорять, що системи з тотожністю і без тотожності рівносильні. Дві системи лінійних рівнянь називаються рівносильними, якщо вони мають однакові розв’язки.

Над системами лінійних рівнянь виконують операції, які називаються елементарними:

а) додавання до обох частин рівняння відповідних частин іншого рівняння, помножених на деяке число λ;

б) перестановку рівнянь у системі;

в) вилучення із системи тотожності ;

г) множення якого-небудь рівняння системи на дійсне число, відмінне від нуля;

д) перенумерування як рівнянь, так і невідомих.

Ці операції не порушують рівносильності системи рівнянь.

За допомогою операції (а) можна вилучити будь-яке невідоме з усіх рівнянь системи, окрім одного. При цьому невідоме, яке вилучають, називається провідним невідомим; коефіцієнти при провідному невідомому називаються провідними елементами, а рівняння, у якому зберігається провідне невідоме, називається провідним рівнянням.

Як приклад вилучимо з (m-1)-го рівняння системи (6.1) невідоме x₁ і приймемо за головне перше рівняння. Для цього помножимо рівняння, з якого вилучимо x_1, на λ _{k ,} де k=2, 3, …, m, і додамо знайдене рівняння до головного. У результаті цього маємо

Поклавши , або , дістанемо рівняння, в якому відсутнє невідоме x₁. Аналогічно вилучимо з усіх рівнянь x₁, крім головного (першого) рівняння. Потім, взявши за головне рівняння знайденої системи, вилучимо x₂ з усіх наступних рівнянь і т. д. У результаті цього дістанемо так звану ступінчату систему

або систему у трикутній формі

Друга система має єдиний розв’язок, а перша система при r<n має n-r так званих вільних змінних, тобто невідомих, які набувають довільних значень.

Розглянута методика перетворення систем, називається методом послідовних вилучень невідомих Жордана ­­­– Гаусса, або, коротко, методом Гаусса.

Цей метод можна використовувати і для визначення сумісності системи. У цьому разі в результаті послідовного вилучення невідомих дійдемо системи, в якій деякі рівняння матимуть вигляд

Якщо в останніх рівностях хоча б одне з чисел d_k, k=r+1, r+2, …, m не дорівнює нулю, то початкова система несумісна.

Таким чином, методом Гаусса можна відшукати розв’язок будь-якої системи без попереднього визначення її сумісності.

Приклади 6.1. Розв’язати методом Гаусса систему

Р о з в ’ я з а н н я. Випишемо розширену матрицю системи:

. Застосуємо до неї метод Гаусса елементарних перетворень:

Таким чином:

Приклад 6.2. Показати, що система несумісна.

Р о з в ‘ я з а н н я. Випишемо розширену матрицю системи:

. Застосуємо до неї метод Гаусса елементарних перетворень:

-отримали, що 0=-44, це означає, що система розв’язків не має.

Відповідь. Система не сумісна.

Поиск по сайту: