Статистичні моделі на основі регресійного аналізу

Лекція 8.

Регресійний аналіз вивчає зв'язок між випадковою величиною у та невипадковими величинами та встановлює наближену математичну залежність у вигляді рівняння регресії. Величини, що спостерігаються в пасивному експерименті можна рахувати невипадковими тоді, коли результат вимірів у -незалежна нормально розподілена випадкова величина, а фактори вимірюються із нехтуванням малої похибки по зрівнянню з похибкою в визначенні у та некорельовані один з одним.

Рівняння наближеної регресії суттєво залежить від обраного метода наближення. В теперішній час найбільше розповсюдження отримав метод найменших квадратів. Сутність метода найменших квадратів найбільш легко розглянути на випадку лінійного парного регресійного аналізу, тобто коли вивчається функціональна залежність між змінними виду , та яку завжди можна представити в вигляді експериментальне отриманих точок на координатній площині.

Задача метода найменших квадратів в цьому випадку полягає в тому, щоб знаючи положення експериментальних точок на площині, так провести лінію регресії, щоб сума квадратів відхилень від точок від лінії регресії (нанесеної на координатну площину) була мінімальною. Вираз математичної моделі вибирається на основі інтуїції та досвіду дослідника.

Припустимо, що в якості рівняння регресії вибрано рівняння прямої лінії в вигляді:

, (3.7)

де та - постійні коефіцієнти. Тоді задача метода найменших квадратів аналітичне може бути сформульована наступним чином:

(3.8)

де та експериментально отримані значення х та у відповідно.

Для розв'язку поставленої задачі необхідно в виразі (3.8) обчислити значення коефіцієнтів та , мінімізуючих функцію Ф, для чого обчислюються частинні похідні по коефіцієнтам та та прирівнюються до нуля.

(3.9)

В результаті диференціювання отримаємо систему рівнянь з двома невідомими та ,

Поставивши знак суми перед кожним членом рівнянь системи (3.9), перетворимо її до виду:

(3.10)

Визначаємо значення та за правилом Крамера в вигляді:

,

де В - головний визначник, складений з відомих членів лівої частини системи рівнянь (3.10):

(3.11)

В₀ - визначник, складений шляхом заміни в головному визначнику відомих членів при коефіцієнті на праву частину рівнянь системи (3.10):

. (3.12)

В₁ - визначник, складений аналогічно визначнику В₀, тільки в даному випадку на праву частину рівнянь системи заміняється стовпчик головної матриці, складений з відомих членів при коефіцієнті

Розкриваючи визначники, отримаємо вираз для визначення невідомих та у вигляді:

(3.13)

. (3.14)

Визначивши значення та , можна записати наближене лінійне рівняння регресії, яке з деякою ймовірністю відображає залежність у від х. Аналогічно будується рівняння регресії для випадків двох, трьох та п - кількості факторів, але з додаванням кількості факторів зростають труднощі при обчисленні, тому доцільно використовувати ЕОМ.

Математичні моделі на основі пасивного експерименту відображають тільки незначну частину функціонування технологічного процесу, що обумовлена випадковою зміною вхідних змінних, та не враховують дії неконтрольованих збурень.

При побудові математичних моделей на основі багатофакторних експериментів може трапитись, що деякі члени в виразі моделі не мають функціонального зв'язку з шуканою величиною. Тому введення цих змінних в математичну модель не покращує її функціонального описання, а лише збільшує невизначеність. Такі змінні бажано віднайти і не вводити в кінцеву модель, але провести це достатньо складно.

Найбільш суворим методом виділення незначущих складових математичної моделі є метод поступового виключення з отриманої формули кожного з факторів та оцінки впливу цього виключення на значення коефіцієнта множинної кореляції.

Коефіцієнт множинної кореляції можна розрахувати за формулою:

(3.15)

де - значення змінної, що береться з кореляційної таблиці; - значення змінної, що розраховані по кореляційній формулі.

При малих об'ємах вибірки (невеликій кількості дослідних даних) збільшення порядку полінома може призвести до зростання залишкової дисперсії та неадекватності моделі. Щоб зменшити число коефіцієнтів, що визначаються, використовують трансцендентну регресію. Обчислення коефіцієнтів трансцендентної регресії - достатньо працемісткий процес, бо необхідно розв'язувати систему нелінійних рівнянь. Обчислення спрощуються, якщо провести деяку заміну змінних. Наприклад, обраний вид математичної моделі показникового типу

,

де та - коефіцієнти, що можна аналізувати логарифмуванням:

Зробивши заміну

отримаємо лінійне рівняння відносно змінних

де коефіцієнти та визначаються за методом найменших квадратів. За отриманими значеннями та визначаються коефіцієнти та .

Аналогічні перетворення можна здійснити з будь-яким видом обраної математичної моделі, що значно спростить обчислення.

Поиск по сайту: