Кольцо многочленов

Пусть K – некоторое коммутативное кольцо.

Определение. Стандартным многочленом (или полиномом) степени от переменной x над коммутативным кольцом K называется выражение вида

, (23)

где .

Элементы называются коэффициентами многочлена. Все они, или часть из них, могут быть нулевыми.

Каноническая форма многочлена (23) определяется следующим образом.

Находим наибольшее , такое, что , скажем и запишем

(24)

Степенью многочлена называется число , если оно существует.

Степень многочлена обозначается (дигри).

В зависимости от того, какому из множеств принадлежат коэффициенты , различаются следующие типы многочленов:

с булевыми коэффициентами ;

с целочисленными коэффициентами

с вещественными коэффициентами ;

с рациональными коэффициентами ;

с комплексными коэффициентами .

Определение. Суммой многочленов и называется многочлен (25)

Определение. Произведением двух многочленов и называется многочлен

, (27)

Теорема. Множество всех многочленов с коэффициентами из является коммутативным кольцом с единицей и без делителей нуля.

Поиск по сайту: