Множество, элементами которого являются другие множества, называется КЛАССОМ или СЕМЕЙСТВОМ

В классе все элементы имеют различную природу образования, но у них есть хотя бы одно общее свойство.

ПРИМЕР. Семейство АУДИТОРИЯ имеет следующие элементы:

Множество парт

Множество ламп

Множество элементов питания

Множество студентов и т.д.

Заметим, что элемент «множество студентов» непостоянный. Его может и не быть в данном классе. Тем не менее, все они присутствуют в аудитории.

ОБОЗНАЧЕНИЯ: элементы множеств – строчные латинские символы с натуральными индексами;

множества – заглавные печатные латинские буквы;

семейства – заглавные «рукописные» латинские буквы.

В общем – то, особого значения обозначению класса и множества не придается.

Множества могут быть конечными (состоящими из конечного числа элементов) и бесконечными. Количество элементов в конечном множестве называется его мощностью и обозначается |А|. О мощности бесконечного множества мы поговорим позднее.

Множество нулевой мощности, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается Æ. Оно введено для удобства: лучше сказать, что множество пусто, чем объявить его несуществующим. В нашем примере множество студентов в аудитории может быть пустым.

Множества, имеющие одинаковое количество элементов, называются равномощными.

Класс всех рассматриваемых множеств называется универсальным множеством или универсумом (обозначается U).

Элементы множества не могут повторяться: А={1,2,1,4,6} не является описанием множества. Сразу возникает вопрос о способах описания (задания) множества.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВА.

I. диаграммы Эйлера-Венна. Это графическое изображение множеств в универсуме. Универсум изображается прямоугольником, внутри которого располагаются множества, иллюстрирующиеся овалами. Результирующее множество выделяется штриховкой.

II. перечисление элементов. А={а₁ а₂ а₃ а₄ а₅ а₆}. Списком можно задавать только конечные множества. В данном случае последовательность элементов множества в произвольном порядке записывается в фигурных скобках. Множество целых чисел от n до m обозначается А_n..m

ПРИМЕР. D_{-3.. 3} ={ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

III. характеристический предикат. А={х| P(x)}. Это описание свойств элементов данного множества, где Р(х)- некоторое логическое выражение с логическим значением. Если результат Р(х) положителен (истинен), то элемент принадлежит множеству.

ПРИМЕР. D={nÎZ| -4<n<4}

Такие задания могут приводить к противоречиям, таким как парадокс Рассела: класс всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента: А={B| BÏB}. Имеем: АÎА, тогда АÏА и обратно: АÏА, тогда АÎА. (Задача о лгунах: я всегда вру.)

IV. порождающая процедура. А={х| х=F}. Здесь F – процедура, при работе которой появляются элементы множества.

ПРИМЕР. А={1, 2, 4, 8, 16, …}={n| 1ÎA Ù(nÎAÞ2nÎA)}

Такое задание также называется рекурсивным. В курсе общей математики способ носит название математической индукции.

Еще одним примером порождающей процедуры, представляющим собой важный факт теории множеств, являются ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ.

1. объединение множеств. Это множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. АÈВ={х| хÎАÚ хÎВ}. Данная операция выполнима и для произвольного количества множеств (в т.ч. бесконечного):

ПРИМЕР. А={2, 1, 5, 7} В={-6, -7, 0, 1, 5} АÈВ={-7, -6, 0, 1, 2, 5, 7}

2. пересечение множеств. Это множество, элементами которого являются только те элементы, которые присутствуют в каждом из множеств. АÇВ={х| хÎАÙ хÎВ}. Эта операция также возможна с произвольным количеством множеств: .

ПРИМЕР. А={2, 1, 5, 7} В={-6, -7, 0, 1, 5} АÇВ={1, 5}

3. разность двух множеств. Это множество элементов, принадлежащих первому множеству и не являющихся элементами второго. А\В={х| хÎАÙ хÏВ}.

ПРИМЕР. А={2, 1, 5, 7} В={-6, -7, 0, 1, 5} А\В={2, 7}

4. симметрическая разность двух множеств. Это разность объединения этих множеств с их пересечением. А ^. В= (АÈВ)\(АÇВ) ={х| (хÎАÙ хÏВ) Ú (хÏАÙ хÎВ)}.

ПРИМЕР. А={2, 1, 5, 7} В={-6, -7, 0, 1, 5} А\В={-7, -6, 0, 2, 7}

5. дополнение. Учитывая, что все множества образуют универсум, то дополнение –это множество элементов универсума, не являющиеся элементами данного множества. ={х| хÎUÙ хÏA}. В данном случае универсум должен быть либо задан, либо понятен из контекста задания.

Операции объединения, пересечения и дополнения называются булевыми операциями.

СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ НАД МНОЖЕСТВАМИ.

1) идемпотентность АÈА=А

АÇА=А;

2) коммутативность АÇВ=ВÇА

АÈВ=ВÈА;

3) ассоциативность (АÇВ)ÇС=АÇ(ВÇС)

(АÈВ) ÈС=АÈ (ВÈС);

4) дистрибутивность (АÇВ) ÈС=(АÈC)Ç(BÈС)

(АÈВ)ÇС=(АÇC) È (BÇС);

5) поглощение (АÇВ) ÈА=А

(АÈВ)ÇА=А;

6) свойства нуля АÈÆ=А

АÇÆ=Æ;

7) свойства единицы AÈU=U

AÇU=A;

8) законы де Моргана АÇВ=ВÈА

АÈВ=В ÇА;

9) инволютивность A=A;

10)свойства дополнения AÈA=U

AÇA=Æ;

11)выражение разностей A\B=A ÇB

A ^._ B=(AÈB)\(BÇA).

Поиск по сайту: