балочной теории

При решении конкретных задач важным с точки зрения объема предстоящих вычислений может оказаться выбор декартовой системы отсчета в части расположения осей в плоскости поперечного сечения оболочки. Об этом можно не задумываться в тех случаях, когда форма контура поперечного сечения сложна настолько, что не видно никаких предпочтений в выборе системы отсчета. В остальных случаях желательно стремиться к тому, чтобы хотя бы одна из осей совпадала либо с осью симметрии поперечного сечения или близкой к ней, либо с одним из прямолинейных участков контура поперечного сечения. Вне фиксированной формы контура поперечного сечения дать более конкретные рекомендации не представляется возможным, однако иметь все это в виду при решении конкретных задач небесполезно.

6.1. Указания по определению упруго--геометрические характеристик сечения. Упруго-геометрические характеристики сечения оболочки находятся по формулам

	(2)
	(5)
	(3)
	(6)

Здесь, напомним, , — текущие координаты контура поперечного сечения оболочки; , , — координаты места расположения на нем и площадь поперечного сечения го стрингера; , где и — модули Юнга материалов обшивки и го стрингера, а — модуль Юнга наиболее часто встречаемого в сечении оболочки материала. Подчеркнем, что в этих формулах суммирование распространяется на все имеющиеся в наличии стрингеры поперечного сечения оболочки, а криволинейные интегралы 1–го рода вычисляются только для той обшивки, которая работает на нормальные напряжения (в общем случае — это весь контур поперечного сечения оболочки).

Наибольшие трудности при решении данной и последующих задач вызывает вычисление криволинейных интегралов 1–го рода, в особенности для сложных (криволинейных, разветвленных) контуров поперечных сечений оболочек. Разветвленность контура не будет доставлять никаких хлопот, если воспользоваться правилом, вытекающим из свойства аддитивности интеграла:

криволинейный интеграл по разветвленному контуру

равен сумме интегралов по всем его ветвям.

Поэтому сосредоточим все внимание на вычислении криволинейного интеграла по какой-то одной ветви контура поперечного сечения. Здесь могут представиться две возможности:

1. Форма ветви такова, что аналитические средства либо отсутствуют, либо малоэффективны.

Говоря об отсутствии аналитических средств, мы имеем в виду отсутствие аналитического описания формы ветви, вследствие чего исключается и возможность вычисления криволинейного интеграла в аналитическом виде. К малоэффективным мы относим аналитические средства, которые, прежде всего, из-за сложности уравнений, описывающих форму ветви, приводят к аналитически не берущимся интегралам.

В данной ситуации обшивку, работающую на нормальные напряжения, следует приводить к фиктивным стрингерам и сводить криволинейные интегралы к суммам.

2. Форма ветви допускает аналитическое описание, а криволинейные интегралы относятся к разряду берущихся аналитически.

Пусть — часть контура поперечного сечения оболочки, занятая рассматриваемой ветвью, и пусть требуется вычислить криволинейный интеграл 1–го родавида ,

где — функция точки контура, а — дуговая координата, для которой пока не заданы ни начало, ни конец отсчета. Известно, что подобные интегралы вычисляются путем сведения их к риманову интегралу. Процедура такого сведения зависит от того, в каком виде заданы уравнения кривой .

Если кривая задана параметрически , то необходимо выбрать начало и конец отсчета дуговой координаты . При этом кривая становится направленной и интеграл вычисляется по схеме

Предположим теперь, что уравнение ветви имеет вид . Учитывая, что в этом случае

приходим к такой схеме вычисления интеграла

Заметим, что в обоих случаях вычисления могут оказаться более простыми, если для ветви использовать свои локальные координаты, выбор которых диктуется соответственно условиями и (уравнения ветви и следует переписать в этих локальных координатах).

6.2. Указания по определению нормальных напряжений. Нормальные напряжения в поперечных сечениях оболочки подсчитываются по формуле

(7)

где

(8)

Уравнения нейтральных линий при изгибе в плоскостях , имеют вид

6.3. Указания по определению ПКС. Решение данной задачи вызывает наибольшие трудности. Поэтому мы остановимся на ней более подробно, полагая, что нужные здесь упруго–геометрические характеристики всего сечения, перерезывающие силы и крутящий момент нам уже известны, как и положения нейтральных линий сечения.

Рассмотрим сначала открытую оболочку. Поток касательных сил в ней находится по формулам

	(10)
	(11)
	(12)

Здесь интегралы распространяются на ту часть обшивки в отсеченной части поперечного сечения оболочки, которая работает на нормальные напряжения. Подчеркнем, что в отличие от первоначальных выражений (11) мы умышленно опустили в соотношениях для знак минус. Это вызвано тем, что мы намереваемся знак потока задавать его направлением вдоль контура поперечного сечения. Поясним сказанное подробнее.

При выводе первоначальных формул (11) мы исходили из неразветвленного контура поперечного сечения (см. рис. 5). На всем его протяжении допустима единая ориентация дуговой координаты (мы выбрали направление против часовой стрелки), с которой было увязано положительное направление потока касательных сил . Только для таких контуров поток можно вычислить по первоначальной формуле (11), не прибегая, при соблюдении принятых соглашений о правиле его знаков, к наглядным геометрическим средствам. При этом, как было условлено, положительному потоку отвечает направление в сторону роста длины дуги, а отрицательному — противоположное направление.

В свете сказанного процедуру нахождения потока можно разделить на два этапа. Первый этап носит качественный характер и преследует одну единственную цель — указать на всех участках контура поперечного сечения оболочки правильное, по возможности, направление потока . Мы говорим “по возможности” потому, что правильное во всех отношениях направление удается установить зачастую лишь после определения числовых значений потока , что является предметом второго этапа. Этот этап, по существу, сводится к вычислению центральных статических моментов и отсеченной части поперечного сечения оболочки как функций точки его контура и требует, вообще говоря, умения вычислять криволинейные интегралы 1–го рода. О том, как это делать, было сказано выше. Поэтому сосредоточим дальнейшее внимание на реализации первого этапа.

Поясним все на примере потока . При задании направления этого потока нужно позаботиться, прежде всего, о соблюдении статической эквивалентности его с перерезывающей силой в части направления: направление равнодействующей силы потока должно совпадать с направлением , каковой она и является. Чтобы выполнить это требование необходимо соответствующим образом направить наибольшие по абсолютному значению потоки на тех участках контура поперечного сечения, с которых снимается основной вклад всего в .

При качественном, да и количественном определении наибольших по абсолютному значению потоков нужно исходить из следующего.

1) Вычисление потока начинается с одного из концов контура поперечного сечения оболочки.

2) Точку ветвления контура поперечного сечения следует включать в отсеченную часть после того, как уже найдены в ней потоки со стороны всех ветвей, кроме одной.

Неоценимую услугу при этом может оказать знание положения, пусть даже ориентировочного, нейтральной линии сечения.

Все дальнейшие действия, связанные с заданием направления потока на остальных участках контура поперечного сечения, согласуются с правилом 1. По этому правилу в точке ветвления алгебраическая сумма потоков со стороны сходящихся в ней ветвей и вклада в поток стрингера, расположенного в точке ветвления, равна нулю.

Последующие разъяснения удобно провести на конкретных примерах.

Так, в случае сечения оболочки, показанного на рис. 8 a, нейтральная линия (изображена штрих--пунктиром) разделяет сечение на две части: верхнюю, где , и нижнюю, где . Если мы будем наращивать отсеченную часть сечения, оставаясь, например, выше нейтральной линии, то центральный статический момент , а следовательно, и поток будут монотонно возрастающими функциями. После перехода в наращивании отсеченной части через нейтральную линию произойдет смена знака , и эти функции станут монотонно убывающими. Таким образом, все локальные и глобальные экстремумы и располагаются на пересечении контура поперечного сечения с его нейтральной линией.

Если теперь, скажем, поток вычислен сначала по ветви 1-2, а затем по ветви 3-2, то легко понять, что наибольший поток образуется на вертикальной стенке 2-5. С нее-то и будет осуществляться основной вклад в . Именно поэтому мы направили в стенке 2-5 поток вверх — по направлению силы . Направление потока на других участках контура задано в соответствии с гидравлической аналогией, которую можно рассматривать как наглядную интерпретацию данных выше правил и рекомендаций. Смысл этой аналогии в следующем.

Будем считать, что участки контура поперечного сечения с работающей на нормальные напряжения обшивкой, расположенные ниже (выше) нейтральной линии, являются источниками (стоками) потоков жидкости, мощность которых равна значениям в соответствующих точках контура. Обшивка, работающая на нормальные напряжения, вносит вклад в поток на всем своем протяжении и потому представляет собой распределенный исток (сток). В отличие от нее стрингеры являются сосредоточенными истоками (стоками). Обшивка, не работающая на нормальные напряжения, не влияет на поток , и, следовательно, ее нельзя считать ни истоком, ни стоком. Нетрудно теперь понять, что направление потока касательных сил будет совпадать с направлением потока жидкости, зарождающегося ниже нейтральной линии и исчезающего выше нее.

Особенность сечения, показанного на рис. 8 б, состоит в том, что его ветви 1-2 и 3-2 начинаются ниже нейтральной линии. Пользуясь гидравлической аналогией, заключаем, что при движении по ветви, например, 1-2 поток, зарождающийся ниже нейтральной линии, достигает на ней максимального значения и после перехода ее начинает убывать и где-то выше нейтральной линии исчезает. В этом же месте исчезает и часть потока, подошедшего со стороны ветвей 5-2, 3-2 и направленного противоположно первому потоку. Точное положение здесь места исчезновения (изменения направления) потока можно указать, вообще говоря, после проведения конкретных вычислений.

Наконец, третье сечение на рис. 8 в дает пример контура, в котором наибольший вклад потока в перерезывающую силу осуществляется с наклонной ветви 2-4.

В случае однозамкнутой оболочки (см. (17))

где поток определяется в соответствии с изложенной выше процедурой, так что его можно считать известным, а постоянный по контуру поперечного сечения поток находится из формулы (18)

где — удвоенная площадь, заключенная внутри контура поперечного сечения, а — длина перпендикуляра, опущенного из полюса — точки, относительно которой составлено это моментное соотношение, на касательную к контуру поперечного сечения.

Роль полюса может играть, вообще говоря, любая точка в плоскости сечения. Однако, если руководствоваться стремлением к наименее трудоемким вычислениям, то полюс следует выбирать таким образом, чтобы наиболее просто вычислялась величина , а в конечном счете — интеграл, фигурирующий в выражении для потока . Например, для сечений на рис. 8 за полюс удобно принять точку 2. При таком выборе для горизонтальных участков ветвей 1-2, 3-2 и ветви 2-5 первых двух сечений и ветвей 1-2, 3-2, 2-4 третьего сечения .

Поскольку знак потока мы распознаем по его направлению, то при вычислении интеграла

лучше всего опираться на его механический смысл — момент потока относительно полюса. Для этого контур целесообразно разбить на участки, в пределах которых не меняет своего направления. Интегралу по отдельному участку следует приписать знак плюс, если момент потока на этом участке относительно полюса направлен против часовой стрелке, и знак минус — в противном случае. Чаще всего это удается установить по элементарному моменту . В связи с этим подчеркнем, что при записи всех моментных соотношений относительно полюса за положительный мы приняли момент против часовой стрелки. Это соглашение заложено в соответствующие формулы и уравнения, так что частичный отказ от него может привести к неправильным результатам, в особенности для многозамкнутых оболочек.

В многозамкнутой оболочке

(21)

где, напомним,

а искомые потоки и погонный угол закручивания находятся из системы (см. (4.26), (4.27), (4.31), (4.32))

	(25)
	(23)

Здесь ()

,

(26)

При выборе мест расположения математических разрезов и фиксации контуров последнее, кстати, достигается заданием величин ) нужно позаботиться о сокращении объема вычислений. По этому поводу можно дать следующие рекомендации.

Если у сечения оболочки имеется хотя бы одна ось симметрии или близкая к ней ось, то разрезы целесообразно располагать либо на ней, либо симметрично относительно нее. Контуры () желательно выбирать так, чтобы их взаимные границы имели минимальную протяженность. Кроме того, сделанный выбор нужно согласовать с выбором полюса, что может существенным образом упростить вычисление интеграла

Еще раз подчеркнем, что все единичные потоки нужно направлять против часовой стрелки. При вычислении интегралов, содержащихся в выражениях для величин и , контур интегрирования следует разбивать на участки, в пределах которых не меняют направления все входящие под знак интеграла потоки. Результату вычисления интеграла по отдельному такому участку следует приписать знак плюс, если направление входящих потоков на этом участке совпадает, и знак минус — в противном случае.

Если поток получится положительным, то направление единичного потока предсказано верно, и делать с ним ничего не надо. Если же поток окажется отрицательным, то направление должно быть изменено на противоположное.

Проверить правильность вычислений потока касательных сил можно следующим образом. Пусть — какая-то замкнутая линия, точки которой принадлежат контуру поперечного сечения ; — удвоенная площадь, заключенная внутри , а — единичный поток вдоль , направленный против часовой стрелки. Найденные и должны обращать равенство

в тождество для любой фиксированной кривой .

6.4. Указания к определению положения центра изгиба. При определении положения центра изгиба рекомендуется пользоваться алгоритмом, содержащимся в его определении.

Пусть, например, требуется найти координату . Для этого нужно задать где-то положение центра изгиба и направить положительную перерезывающую силу так, чтобы она проходила через него. После этого надо реализовать процедуру нахождения ПКС, удовлетворяя по ходу ее условиям отсутствия в оболочке кручения. Для открытых оболочек последнее означает статическую эквивалентность ПКС и перерезывающей силы в отношении момента относительно полюса, а для замкнутых оболочек — еще и требование .

Так, в случае открытой оболочки после нахождения потока достаточно задать полюс и потребовать, чтобы

Здесь и далее предполагается, что полюс расположен левее назначенного места расположения центра изгиба (в противном случае справа следует поставить знак минус) и, как и ранее, момент относительно полюса считается положительным, если он направлен против часовой стрелки.

Для однозамкнутой оболочки полагаем затем находим поток , зафиксировав предварительно начало отсчета дуги (место математического разреза). После этого выбираем положение полюса и записываем моментное соотношение

которое дополняем уравнением (27), положив в нем , т. е.

где

Координата находится теперь из очевидного равенства

Отметим, что при подсчете интеграл по участкам, где поток направлен против часовой стрелки, берется со знаком плюс, а в противном случае — со знаком минус.

Наконец для многозамкнутой оболочки имеем (см. (4.26), (4.31) или (7.14) при , и , а также (7.15))

(31)

Находя решение системы первых уравнений, после подстановки его в последнее равенство (31) получаем равенство, определяющее искомую величину .

Если в результате вычислений окажется, что , то положение центра изгиба относительно полюса угадано верно. Иначе, т. е. при , его следует сместить на по левую сторону полюса.

Поиск по сайту: