 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Основные формулы
НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ.
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ СМЕЩЕНИЕ
Основные формулы
· Напряженность электрического поля
E = F / Q,
где F — сила, действующая на точечный положительный заряд Q, помещенный в данную точку поля.
· Сила, действующая на точечный заряд Q, помещенный в электрическое поле,
F = Q E.
· Поток вектора напряженности Е электрического поля:
а) через произвольную поверхность S, помещенную в неоднородное поле,
или 
,
где a — угол между вектором напряженности Е и нормалью n к элементу поверхности; d S — площадь элемента поверхности; En — проекция вектора напряженности на нормаль;
б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное электрическое поле,
Ф E=ЕS cosa.
· Поток вектора напряженности Е через замкнутую поверхность
,
где интегрирование ведется по всей поверхности.
· Теорема Остроградского — Гаусса. Поток вектора напряженности Е через любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды Ql, Q2,..., Qn,
,
где 
— алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности; п — число зарядов.
· Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом Q на расстоянии r от заряда,
.
Напряженность электрического поля, создаваемого металлической сферой радиусом R, несущей заряд Q, на расстоянии r от центра сферы:
а) внутри сферы (r<.R)
E =0;
б) на поверхности сферы (r = R)
;
в) вне сферы (r>R)
.
· Принцип суперпозиции (наложения) электрических полей, согласно которому напряженность Е результирующего поля, созданного двумя (и более) точечными зарядами, равна векторной (геометрической) сумме напряженностей складываемых полей:
Е = E 1 + Е 2 +...+ Е n.
В случае двух электрических полей с напряженностями Е 1 и Е 2 модуль вектора напряженности
,
где a — угол между векторами E 1 и E 2.
· Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно заряженной нитью (или цилиндром) нарасстоянии r от ее оси,
, где t — линейная плотность заряда.
Линейная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределенного по нити, к длине нити (цилиндра):
· Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью,
где s — поверхностная плотность заряда.
Поверхностная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределенного по поверхности, к площади этой поверхности:
.
· Напряженность поля, создаваемого двумя параллельными бесконечными равномерно и разноименно заряженными плоскостями, с одинаковой по модулю поверхностной плотностью о заряда (поле плоского конденсатора)
.
Приведенная формула справедлива для вычисления напряженности поля между пластинами плоского конденсатора (в средней части его) только в том случае, если расстояние между пластинами много меньше линейных размеров пластин конденсатора.
· Электрическое смещение D связано с напряженностью E электрического поля соотношением
D =e 0 e E.
Это соотношение справедливо только дляизотропных диэлектриков.
· Поток вектора электрического смещения выражается аналогично потоку вектора напряженности электрического поля:
а) в случае однородного поля поток сквозь плоскую поверхность
;
б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности
,
где Dn — проекция вектора D на направление нормали к элементу поверхности, площадь которой равна d S.
· Теорема Остроградского — Гаусса. Поток вектора электрического смещения сквозь любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды Q1, Q2,..., Qn,
,
где п —число зарядов (со своим знаком), заключенных внутри замкнутой поверхности.
· Циркуляция вектора напряженности электрического поля есть величина, численно равная работе по перемещению единичного точечного положительного заряда вдоль замкнутого контура. Циркуляция выражается интегралом по замкнутому контуру 
, где El— проекция вектора напряженности Е в данной точке контура на направление касательной к контуру в той же точке.
В случае электростатического поля циркуляция вектора напряженности равна нулю:
.
Примеры решения задач
Пример 1. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами: Q1 =30 нКл и Q2 = –10 нКл. Расстояние d между зарядами равно 20 см. Определить напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r1 =15 см от первого и на расстоянии r2 =10 см от второго зарядов.
Решение. Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность Е электрического поля в искомой точке может быть найдена как векторная сумма напряженностей E 1 и Е 2 полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: E = E 1 + E 2.
Напряженности электрического поля, создаваемого в вакууме первым и вторым зарядами, соответственно равны
(1)
Вектор E 1 (рис. 14.1) направлен по силовой линии от заряда Q1, так как заряд Q1 >0; вектор Е 2 направлен также по силовой линии, но к заряду Q2, так как Q2 <0.
Модуль вектора Е найдем по теореме косинусов:
, (2)
где угол a может быть найден из треугольника со сторонами r1, r2 и d:
.
В данном случае во избежание громоздких записей вычислим отдельно значение cosa. По этой формуле найдем
cosa =0,25.
Подставляя выражения E1 и E2 а по формулам (1) в равенство (2) и вынося общий множитель 1/(4pe 0) за знак корня, получаем
.
Подставив значения величин p, e 0, Q1, Q2, r1 -, r2 и a в последнюю формулу и произведя вычисления, найдем
Пример 2. Электрическое поле создано двумя параллельными бесконечными заряженными плоскостями с поверхностными плотностями заряда s 1 =0,4 мкКл/м2 и s 2 =0,1 мкКл/м2. Определить напряженность электрического поля, созданного этими заряженными плоскостями.
Решение. Согласно принципу суперпозиции, поля, создаваемые каждой заряженной плоскостью в отдельности, накладываются друг на друга, причем каждая заряженная плоскость создает электрическое поле независимо от присутствия другой заряженной плоскости (рис. 14.2).
Напряженности однородных электрических полей, создаваемых первой и второй плоскостями, соответственно равны:
; 
.
Плоскости делят все пространство на три области: I, II и III. Как вид но из рисунка, в первой и третьей областях электрические силовые линии обоих полей направлены в одну сторону и, следовательно, напряженности суммарных полей Е(I) и E (III) в первой и третьей областях равны между собой и равны сумме напряженностей полей, создаваемых первой и второй плоскостями: Е(I)= E (III)= E1+E2, или
Е(I)= E (III) = 
.
Во второй области (между плоскостями) электрические силовые линии полей направлены в противоположные стороны и, следовательно, напряженность поля E(II) равна разности напряженностей полей, создаваемых первой и второй плоскостями: E(II)=|E1-E2|, или
.
Подставив данные и произведя вычисления, получим
E(I)=E(III)=28,3кВ/м=17 кВ/м.
Картина распределения силовых линий суммарного поля представлена на рис. 14.3.
Пример 3. На пластинах плоского воздушного конденсатора находится заряд Q =10 нКл. Площадь S каждой пластины конденсатора равна 100 см2 Определить силу F, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным.
Решение. Заряд Q одной пластины находится в поле, созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила (рис. 14.4)
F=E1Q,, (1)
где E1 — напряженность поля, создаваемого зарядом одной пластины. Но 
где s – поверхностная плотность заряда пластины.
Формула (1) с учетом выражения для E1 примет вид
F = Q2 /(2e 0S).
Подставив значения величин Q, e 0 и S в эту формулу и произведя вычисления, получим
F =565 мкН.
Пример 4. Электрическое поле создано, бесконечной плоскостью, заряженной с поверхностной плотностью s = 400 нКл/м 2, и бесконечной прямой нитью, заряженной с линейной плотностью t=100 нКл/м. На расстоянии r =10 см от нити находится точечный заряд Q =10 нКл. Определить силу, действующую на заряд, ее направление, если заряд и нить лежат в одной плоскости, параллельной заряженной плоскости.
Решение. Сила, действующая на заряд, помещённый в поле,
F=EQ, (1)
где Е — напряженность поля в точке, в которой находится заряд Q.
Определим напряженность Е поля, создаваемого, по условию задачи, бесконечной заряженной плоскостью и бесконечной заряженной нитью. Поле, создаваемое бесконечной заряженной плоскостью, однородно, и его напряженность в любой точке
. (2)
Поле, создаваемое бесконечной заряженной линией, неоднородно. Его напряженность зависит от расстояния и определяется по формуле
. (3)
Согласно принципу суперпозиции электрических полей, напряженность поля в точке, где находится заряд Q, равна векторной сумме напряженностей E 1 и Е 2 (рис. 14.5): E = E 1 + E 2. Так как векторы E 1 и Е 2 взаимно перпендикулярны, то
.
Подставляя выражения E1 и E2 по формулам (2) и (3) в это равенство, получим
,
или 
.
Теперь найдем силу F, действующую на заряд, подставив выражение Е в формулу (1):
. (4)
Подставив значения величин Q, e 0, s, t, p и r в формулу (4) и сделав вычисления, найдем
F =289 мкН.
Направление силы F, действующей на положительный заряд Q, совпадает с направлением вектора напряженности Е поля. Направление же вектора Е задается углом a к заряженной плоскости. Из рис. 14.5 следует, что
, откуда 
.
Подставив значения величин p, r, s и t в это выражение и вычислив, получим
a=51°3¢
Пример 5. Точечный заряд Q =25 нКл находится в ноле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом R= 1 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью s=2 мкКл/м2. Определить силу, действующую на заряд, помещенный от оси цилиндра на расстоянии r =10 см.
Решение. Сила, действующая на заряд Q, находящийся в поле,
F=QE, (1)
где Е — напряженность поля в точке, в которой находится заряд Q.
Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра
E =t/(2pe 0r), (2)
где t — линейная плотность заряда.
Выразим линейную плотность t через поверхностную плотность s. Для этого выделим элемент цилиндра длиной l и выразим находящийся на нем заряд Q1 двумя, способами:
Q1=sS=s2pRl и Q 1 =t l.
Приравняв правые части этих равенств, получим t l =2p Rls. После сокращения на l найдем t=2p Rs. С учетом этого формула (2) примет вид E=Rs/(e0r). Подставив это выражение Е в формулу (1), найдем искомую силу:
F=QsR/(e0r). (3)
Так как R и r входят в формулу в виде отношения, то они могут быть выражены в любых, но только одинаковых единицах.
Выполнив вычисления по формуле (3), найдем
F =25×10-9×2×10-6×10-2/(8,85×10-12×10×10-2)H==565×10-6H=565мкH.
Направление силы F совпадает с направлением вектора напряженности Е, а последний в силу симметрии (цилиндр бесконечно длинный) направлен перпендикулярно цилиндру.
Пример 6. Электрическое поле создано тонкой бесконечно длинной нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью t=30 нКл/м. На расстоянии а =20 см от нити находится плоская круглая площадка радиусом r =1 см. Определить поток вектора напряженности через эту площадку, если плоскость ее составляет угол b=30° с линией напряженности, проходящей через середину площадки.
Решение. Поле, создаваемое бесконечно равномерно, заряженной нитью, является неоднородным. Поток вектора напряженности в этом случае выражается интегралом
, (1)
где En — проекция вектора Е на нормаль n к поверхности площадки dS. Интегрирование выполняется по всей поверхности площадки, которую пронизывают линии напряженности.
Проекция Еп вектора напряженности равна, как видно из рис. 14.6,
Еп=Е cosa,
где a — угол между направлением вектора и нормалью n. С учетом этого формула (1) примет вид
.
Так как размеры поверхности площадки малы по сравнению с расстоянием до нити (r<<a), то электрическое поле в пределах площадки можно считать практически однородными. Следовательно, вектор напряженности Е очень мало. меняется по модулю и направлению в пределах площадки, что позволяет заменить под знаком интеграла значения Е и cosa их средними значениями < E > и <cosa> и вынести их за знак интеграла:
Выполняя интегрирование и заменяя < E > и <cosa> их приближенными значениями ЕA и cos aA, вычисленными для средней точки площадки, получим
Ф E = ЕA cos aAS =p r 2 ЕA cosa A. (2)
Напряженность ЕA вычисляется по формуле EA =t/(2pe 0a). Из
рис. 14.6 следует cos aA =cos(p/2 —b)=sinb.
С учетом выражения ЕA и cos aA равенство (2.) примет вид
.
Подставив в последнюю формулу данные и произведя вычисления, найдем
Ф E =424 мВ.м.
Пример 7. Две концентрические проводящие сферы радиусами R1 =6 см и R2= 10 см несут соответственно заряды Q1 =l нКл и Q2 = –0,5 нКл. Найти напряженность Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r1 =5 см, r2 =9 см r3 =15см. Построить график Е(r).
Решение. Заметим, что точки, в которых требуется найти напряженности электрического поля, лежат в трех областях (рис. 14.7): область I (r < R1), область II (R1 < r2 < R2), область III (r3 > R2).
1. Для определения напряженности E1 в области I проведем сферическую поверхность S1 радиусом r1 и воспользуемся теоремой Остроградского—Гаусса. Так как внутри области I зарядов нет, то согласно указанной теореме получим равенство
, (1)
где En — нормальная составляющая напряженности электрического поля.
Из соображений симметрии нормальная составляющая En должна быть равна самой напряженности и постоянна для всех точек сферы, т. е. En=E1= const. Поэтому ее можно вынести за знак интеграла. Равенство (1) примет вид
.
Так как площадь сферы не равна нулю, то
E1 =0,
т. е. напряженность поля во всех точках, удовлетворяющих условию r1<.R1, будет равна нулю.
2. В области II сферическую поверхность проведем радиусом r2. Так как внутри этой поверхности находится, заряд Q1,тодля нее, согласно теореме Остроградского—Гаусса,можно записать равенство
. (2)
Так как En = E2 =const, то из условий симметрии следует
, или ES2 = Q1 /e 0,
откуда
E2 = Q1 /(e 0 S 2).
Подставив сюда выражение площади сферы, получим
E2 = Q /(4 
). (3)
3. В области III сферическую поверхность проведем радиусом r3. Эта поверхность охватывает суммарный заряд Q1 + Q2. Следовательно, для нее уравнение, записанное на основетеоремыОстроградского — Гаусса, будет иметь вид
.
Отсюда, использовав положения, примененные в первых двух случаях, найдем
. (4)
Убедимся в том, что правые части равенств (3) и (4) дают единицу напряженности электрического поля;
Выразим все величины в единицах СИ (Q1 =10-9 Кл, Q2 = –0,5´10-9 Кл, r1 =0,09 м, r2 =15м, l/(4pe 0)=9×109 м/Ф) и произведем вычисления:
4. Построим график E (r). В области I (r1<R1) напряженность E =0. В области II (R1 
r<.R2) напряженность E2 (r) изменяется по закону l/r 2. В точке r=R1 напряженность E2 (R1)=Q 1 /(4pe 0R 
)=2500 В/м.В точке r=R1 (r стремится к R1 слева) E2(R2)=Q1 /(4pe 0R 
)=900В/м. В области III (r > R2) E3 (r) изменяется по закону 1/ r2, причем в точке r=R2 (r стремится к R2 справа) Е3(R2) =(Q1–|Q2 |)/(4pe 0R )=450 В/м. Таким образом, функция Е (r) в точках r = R1 и r=R2 терпит разрыв. График зависимости Е(r) представлен на рис. 14.8.
Задачи
Напряженность поля точечных зарядов
14.1. Определить напряженность Е электрического поля, создаваемого точечным зарядом Q =10 нКл на расстоянии r =10 см от него. Диэлектрик — масло.
14.2. Расстояние d между двумя точечными зарядами Q1 =+8 нКл и Q2 = –5,3 нКл равно 40 см. Вычислить напряженность Е поля в точке, лежащей посередине между зарядами. Чему равна напряженность, если второй заряд будет положительным?
14.3. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами Q1 =10 нКл и Q2 = –20 нКл, находящимися на расстоянии d =20 см друг от друга. Определить напряженность E поля в точке, удаленной от первого заряда на r1 =30 см и от второго на r2 =50 см.
14.4. Расстояние d между двумя точечными положительными зарядами Q1 =9 Q и Q2 =Q равно 8 см. На каком расстоянии г от первого заряда находится точка, в которой напряженность Е поля зарядов равна нулю? Где находилась бы эта точка, если бы второй заряд был отрицательным?
14.5. Два точечных заряда Q1 =2 Q и Q2 = – Q находятся на расстоянии d друг от друга. Найти положение точки на прямой, проходящей через эти заряды, напряженность Е поля в которой равна нулю,
14.6. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами Q1 =40 нКл и Q2 = –10 нКл, находящимися на расстоянии d =10 см друг от друга. Определить напряженность Е поля в точке, удаленной от первого заряда на r1 =12 см и от второго на r2 =6 см.
Напряженность поля заряда, распределенного по кольцу и сфере
14.7. Тонкое кольцо радиусом R =8 см несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью t=10 нКл/м. Какова напряженность Е электрического поля в точке, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r =10 см?
14.8. Полусфера несет заряд, равномерно распределенный с поверхностной плотностью s=1,нКл/м2. Найти напряженность Е электрического поля в геометрическом центре полусферы.
14.9. На металлической сфере радиусом R =10 см находится заряд Q =l нКл. Определить напряженность Е электрического поля в следующих точках: 1) на расстоянии r1 =8 см от центра сферы; 2) на ее поверхности; 3) на расстоянии r2 =15 см от центра сферы. Построить график зависимости E от r.
14.10. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами R1 =6cм и R2 =10 см несут соответственно заряды Q1 =1 нКл и Q2 = – 0,5 нКл. Найти напряженности Е поля в точках. отстоящих от центра сфер на расстояниях r1 =5 см, r2 =9 см, r3 =15 см. Построить график зависимости Е(r).
Напряженность поля заряженной линии
14.11. Очень длинная тонкая прямая проволока несет заряд, равномерно распределенный по всей ее длине. Вычислить линейную плотность t заряда, если напряженность E поля на расстоянии а =0,5 м от проволоки против ее середины равна 200 В/м.
14.12. Расстояние d между двумя длинными тонкими проволоками, расположенными параллельно друг другу, равно 16 см. Проволоки равномерно заряжены разноименными зарядами с линейной плотностью |t|=^150. мкКл/м. Какова напряженность Е поля в точке, удаленной на r =10 см как от первой, так и от второй проволоки?
14.13. Прямой металлический стержень диаметром d =5 см и длиной l =4 м несет равномерно распределенный по его поверхности заряд Q =500 нКл. Определить напряженность Е поля в точке, находящейся против середины стержня на расстоянии а =1 см от его поверхности.
14.14. Бесконечно длинная тонкостенная металлическая трубка радиусом R =2 см несет равномерно распределенный по поверхности заряд (s=1 нКл/м2). Определить напряженность Е поля в точках, отстоящих от оси трубки на расстояниях r1 =l см, r2 =3 см. Построить график зависимости Е(r).
14.15. Две длинные тонкостенные коаксиальные трубки радиусами R1 =2 см и R2 =4 см несут заряды, равномерно распределенные по длине с линейными плотностями t 1 =l нКл/м и t 2 = –0,5 нКл/м. Пространство между трубками заполнено эбонитом. Определить напряженность Е поля в точках, находящихся на расстояниях r1 =1 см, r2 =3 см, r3 =5 см от оси трубок; Построить график зависимости Е от r.
14.16. На отрезке тонкого прямого проводника длиной l =10 см равномерно распределен заряд с линейной плотностью t=3 мкКл/м. Вычислить напряженность Е, создаваемую этим зарядом в точке, расположенной на оси проводника и удаленной от ближайшего конца отрезка на расстояние, равное длине этого отрезка.
14.17. Тонкий стержень длиной l =12 см заряжен с линейной плотностью t=200 нКл/м. Найти напряженность Е электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r =5 см от стержня против его середины.
14.18. Тонкий стержень длиной l =10 см заряжен с линейной плотностью t=400 нКл/м. Найти напряженность Е электрического поля в точке, расположенной на перпендикуляре к стержню, проведенном через один из его концов, на расстоянии r =8 см от этого конца.
14.19. Электрическое поле создано зарядом тонкого равномерно заряженного стержня, изогнутого по трем сторонам квадрата (рис. 14.9.). Длина а стороны квадрата равна 20 см. Линейная плотность t зарядов равна 500 нКл/м. Вычислить напряженность Е поля в точке А.
14.20. Два прямых тонких стержня длиной l1 =12 см и l2 =16 см каждый заряжены с линейной плотностью t=400 нКл/м. Стержни образуют прямой угол. Найти напряженность Е поля в точке А (рис. 14.10).
Напряженность поля заряженной плоскости
14.21. Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными пластинами, несущими одинаковый равномерно распределенный по площади заряд (s=1 нКл/м2). Определить напряженность E поля: 1) между пластинами; 2) вне пластин. Построить график изменения напряженности вдоль линии, перпендикулярной пластинам.
14.22. Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными пластинами, несущими равномерно распределенный по площади заряд с поверхностными плотностями s 1 =l нКл/м2 и s 2 =3 нКл/м2. Определить напряженность Е поля: 1) между пластинами; 2) вне пластин. Построить график изменения напряженности вдоль линии, перпендикулярной пластинам.
14.23. Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными пластинами, несущими равномерно распределенный по площади заряд с поверхностными плотностями s 1 =2 нКл/м2 и s 2 = –5 нКл/м2. Определить напряженность Е поля: 1) между пластинами; 2) вне пластин. Построить график изменения напряженности вдоль линии, перпендикулярной пластинам.
14.24. Две прямоугольные одинаковые параллельные пластины, длины сторон которых а =10 см и b =15 см, расположены на малом
(по сравнению с линейными размерами пластин); расстоянии друг от друга. На одной из пластин равномерно распределен заряд Q1 ==50 нКл, на другой — заряд Q2 =150 нКл. Определить напряженность E электрического поля между пластинами.
14.25. Две бесконечные параллельные пластины равномерно заряжены с поверхностной плотностью s 1 =10 нКл/м2 и s 2 = –30 нКл/м2. Определить силу взаимодействия между пластинами, приходящуюся на площадь S, равную 1 м3.
14.26. Две круглые параллельные пластины радиусом R =10смнаходятся на малом (по сравнению с радиусом) расстоянии друг от друга. Пластинам сообщили одинаковые по модулю, но противоположные по знаку заряды | Q1 |=| Q2 |= Q. Определить этот заряд Q, если пластины притягиваются с силой F =2 мН. Считать, что заряды распределяются по пластинам равномерно.
Напряженность поля заряда, распределенного по объему
14.27. Эбонитовый сплошной шар радиусом R =5 см несет заряд, равномерно распределенный с объемной плотностью p=10 нКл/м 3. Определить напряженность Е и смещение D электрического поля в точках: 1) на расстоянии r1 =3 см от центра сферы; 2) на поверхности сферы; 3) на расстоянии r2 =10 см от центра сферы. Построить графики зависимостей Е(r) и D(r).
14.28. Полый стеклянный шар несет равномерно распределенный по объему заряд. Его объемная плотность р=100нКл/м3. Внутренний радиус R1 шара равен 5 см, наружный — R2 =10-см. Вычислить напряженность Е и смещение D электрического поля в точках, отстоящих от центра сферы на расстоянии: 1) r1 =3 см, 2) r2 =6 см; 3) r3 = 12 см. Построить графики зависимостей E (r) и D (r).
14.29. Длинный парафиновый цилиндр радиусом R = 2 см несет заряд, равномерно распределенный по объему с объемной плотностью р=10 нКл/м3. Определить напряженность E и смещение D электрического поля в точках, находящихся от оси цилиндра на расстоянии: 1) r1 = 1 см; 2) r2 = 3 см. Обе точки равноудалены от концов цилиндра. Построить графики зависимостей E (r) и D (r).
14.30. Большая плоская, пластина толщиной d= 1 см несет заряд, равномерно распределенный: по объему с объемной плотностью р=100 нКл/м3. Найти напряженность E электрического поля: вблизи центральной части пластины вне ее, на малом расстоянии от поверхности.
14.31. Лист стекла толщиной d =2 см равномерно заряжен с объемной плотностью р=1 мкКл/м3. Определить напряженность E и смещение D электрического поля в точках А, B, С (рис, 14.11), Построить график зависимости E (х) (ось х координат перпендикулярна поверхности листа стекла).
Метод зеркальных изображений
14.32. На некотором расстоянии а =5 см от бесконечной проводящей плоскости находится точечный заряд Q =l нКл. Определить силу F, действующую на заряд со стороны индуцированного им заряда на плоскости.
14.33. На расстоянии а =10 см от бесконечной проводящей плоскости находится точечный заряд Q =20 нКл. Вычислить напряженность Е. электрического поля в точке, удаленной от плоскости на расстояние а и от заряда Q на расстояние 2а.
 |
14.34. Точечный заряд Q =40 нКл находится на расстоянии а =30 см от -бесконечной проводящей плоскости. Какова напряженность Е электрического поля в точке A (рис. 14.12,)?
14.35. Большая металлическая пластина расположена в вертикальной плоскости и соединена с землей (рис. 14.13). На расстоянии а =10см от пластины находится неподвижная точка, к которой на нити длиной l =12 см подвешен маленький шарик массой m =0,l г. При сообщении шарику заряда Q он притянулся к пластине, в результате чего нить отклонилась от вертикали на угол a=30°. Найти заряд Q шарика.
Сила, действующая на заряд в электрическом поле
14.36. Тонкая нить несет равномерно распределенный по длине заряд с линейной плотностью t=2 мкКл/м. Вблизи средней части нити на расстоянии r =1 см, малом по сравнению с ее длиной, находится точечный заряд Q =0,1 мкКл. Определить силу F, действующую на заряд.
14.37. Большая металлическая пластина несет равномерно распределенный по поверхности заряд (s=10 нКл/м2). На малом расстоянии от пластины находится точечный заряд Q =100 нКл. Найти силу F, действующую на заряд.
14.38. Точечный заряд Q =l мкКл находится вблизи большой равномерно заряженной пластины против ее середины. Вычислить поверхностную плотность s заряда пластины, если на точечный заряд действует сила F =60 мН.
14.39. Между пластинами плоского конденсатора находится точечный заряд Q =30 нКл. Поле конденсатора действует на заряд с силой F1 =10 мН. Определить силу F2 взаимного притяжения пластин, если площадь S каждой пластины равна 100 см2.
14.40. Параллельно бесконечной пластине, несущей заряд, равномерно распределенный по площади с поверхностной плотностью s=20 нКл/м2, расположена тонкая нить с равномерно распределенным по длине зарядом (t=0,4 нКл/м). Определить силу F, действующую на отрезок нити длиной l =1 м.
14.41. Две одинаковые круглые пластины площадью по S =100 см 2 каждая расположены параллельно друг другу. Заряд Q1 одной пластины равен +100 нКл, другой Q2 = –100 нКл. Определить силу F взаимного притяжения пластин в двух случаях, когда расстояние между ними: 1) r1 =2 см; 2) r2 =10 м.
14.42. Плоский конденсатор состоит из двух пластин, разделенных стеклом. Какое давление p производят пластины на стекло перед пробоем, если напряженность Е электрического поля перед пробоем равна 30 МВ/м?
14.43. Две параллельные, бесконечно длинные прямые нити несут заряд, равномерно распределенный по длине с линейными плотностями t 1 =0,l мкКл/м и t 2 =0,2 мкКл/м. Определить силу F взаимодействия, приходящуюся на отрезок нити длиной 1 м. Расстояние r между нитями равно 10 см.
14.44. Прямая, бесконечная, тонкая нить несет равномерно распределенный по длине заряд (t 1 =1 мкКл/м). В плоскости, содержащей нить, перпендикулярно нити находится тонкий стержень длиной l. Ближайший к нити конец стержня находится на расстояний l от нее. Определить силу F, действующую на стержень, если он заряжен с линейной плотностью t 2 =0,1 мкКл/м.
14.45. Металлический шар имеет заряд Q1 =0,l мкКл. На расстоянии, равном радиусу шара, от его поверхности находится конец нити, вытянутой вдоль силовой линии. Нить несет равномерно распределенный по длине заряд Q2 =10 нКл. Длина нити равна радиусу шара. Определить силу F, действующую на нить, если радиус R шара равен 10 см.
14.46. Соосно с бесконечной прямой равномерно заряженной линией (t 1 =0,5 мкКл/м) расположено полукольцо с равномерно распределенным зарядом (t 2 =20 нКл/м). Определить силу F взаимодействия нити с полукольцом.
14.47. Бесконечная прямая нить несет равномерно распределенный заряд с линейной плотностью t 1 =1 мкКл/м. Соосно с нитью расположено тонкое кольцо, заряженное равномерно с линейной плотностью t 2 =10 нКл/м. Определить силу F, растягивающую кольцо. Взаимодействием между отдельными элементами кольца пренебречь.
14.48. Две бесконечно длинные равномерно заряженные тонкие нити (t 1 =t 2 =t=l мкКл/м) скрещены под прямым углом друг к другу. Определить силу F их взаимодействия.
Поток, напряженности и поток электрического смещения
14.49. Бесконечная плоскость несет заряд, равномерно распределенный с поверхностной плотностью s=1 мкКл/м2. На некотором расстоянии от плоскости параллельно ей расположен круг радиусом r =10 см. Вычислить поток Ф E вектора напряженности через этот круг.
14.50. Плоская квадратная пластина со стороной длиной а, равной 10 см, находится на некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной (s=1 мкКл/м2) плоскости.. Плоскость пластины составляет угол b=30° с линиями поля. Найти поток y электрического смещения через эту пластину.
14.51. В центре сферы радиусом R =2 0 см находится точечный заряд Q =10 нКл. Определить поток Ф E вектора напряженности через часть сферической поверхности площадью S =20 см2.
14.52. В вершине конуса с телесным углом w=0,5 ср находится точечный заряд Q =30 нКл. Вычислить поток y электрического смещения через площадку, ограниченную линией пересечения поверхности конуса с любой другой поверхностью.
14.53. Прямоугольная плоская площадка со сторонами, длины а и b которых равны 3 и 2 см соответственно, находится на расстоянии R =1 м от точечного заряда Q =l мкКл. Площадка ориентирована так, что линии напряженности составляют угол a=30° с ее поверхностью. Найти поток Ф E вектора напряженности через площадку.
14.54. Электрическое поле создано точечным зарядом Q =0,1 мкКл. Определить поток y электрического смещения через круглую площадку радиусом R =30 см. Заряд равноудален от краев площадки и находится на расстоянии а =40 см от ее центра.
14.55. Заряд Q =l мкКл равноудален от краев круглой площадки на расстоянии l =20 см. Радиус R площадки равен 12 см. Определить среднее значение напряженности <Е> в пределах площадки.
14.56. Электрическое поле создано бесконечной прямой равномерно заряженной линией (t=0,3 мкКл/м). Определить поток y электрического смещения через прямоугольную площадку, две большие стороны которой параллельны заряженной линии и одинаково удалены от нее на расстояние r =20 см. Стороны площадки имеют размеры а =20 см, b =40 см.
Поиск по сайту: