АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Теоретическое введение. Приложения тройных интегралов

Читайте также:
  1. A. II. Введение в изучение Плавта
  2. I Введение в экономику
  3. I. Введение
  4. I. Введение
  5. I. Введение в архитектонику жилой единицы (жилого пространства семьи) на земле.
  6. I. Теоретическое введение
  7. III.Введение новой темы.
  8. А. Введение
  9. А. Введение
  10. А. Введение
  11. А. Введение
  12. А. Введение

Приложения тройных интегралов

Рассмотрим приложения тройного интеграла к решению ряда геометрических задач и задач механики.

4.1.1 Вычисление площади и массы пространственного тела

Пусть в трехмерном пространстве Oxyz дано материальное тело G.
Объем V этого тела может быть найден с помощью тройного интеграла по формуле:

V = dV (1)

Вычислим массу m тела объема V, считая, что плотность в каждой точке тела есть заданная непрерывная функция координат точки P, т.е. γ = γ (x;y;z).
Пусть в каждой точке тела G задана его объемная плотность γ = γ (x;y;z). Будем считать, что функция γ = γ (x;y;z) непрерывна в области G. Тогда масса m этого тела равна тройному интегралу от функции плотности γ = γ (x;y;z) по области G:

m = γ (x, y, z) dV (2)


4.1.2 Статические моменты. Центр масс пространственного тела

Статическим моментом Mxy материальной точки массы m относительно плоскости Оху называется произведение массы точки на ее координату z: Mxy = mz. Аналогично определяются статические моменты Myz и Mxz соответственно относительно плоскостей Oyz и Oxz: Myz = mx, ­ ­ Mxz = my.
Статические моменты пространственного тела, плотность которого равна γ (x,y,z), где γ (x,y,z) – непрерывная функция, относительно плоскости Оху вычисляется по формуле:

Mxy = (x, y, z) dV (3)


Аналогично, для статических моментов тела G относительно плоскостей Oyz и Oxz получим:

Myz = (x, y, z) dV (4)

 

Mxz = (x, y, z) dV (5)

Координаты xc, yc, zc центра масс тела G определяются равенствами:

(6)

где m – масса тела G, которую можно найти по формуле (2). Тогда из формул (3) – (6) получим:

(7)


4.1.3 Момент инерции пространственного тела

Момент инерции Iz материальной точки массы m относительно оси Oz равен произведению массы этой точки на квадрат её расстояния до оси Oz. Так как квадрат расстояния точки P (x, y, z) до оси Oz равен x 2 + y 2, то Iz = (x 2 + y 2) · m. Аналогично определяют моменты инерции относительно осей Ох и Оу.
Пусть дано тело G, плотность которого задана непрерывной функцией γ (x, y, z). Момент инерции этого тела относительно оси Oz может быть найден по формуле:

Jz = (x 2 + y 2) γ (x, y, z) dV (8)

Аналогично находятся моменты инерции Jx и Jy:

Jx = (y 2 + z 2) γ (x, y, z) dV, ­ ­ ­ ­ ­ ­ Jy = (x 2 + y 2) γ (x, y, z) dV (9)

Содержание типового расчета

Типовой расчет содержит две задачи. В каждой задаче задана пространственная область G, ограниченная поверхностями, указанными в условии задачи. Г (x,y,z) – объемная плотность области G. Для этой области найти:
1. V – объем;
2. m – массу;
3. Myz, ­ Mxz, ­ Mxy – статические моменты относительно плоскостей Оyz, Oxz и Охy соответственно;
4. xc, ­ yc, ­ zc – координаты центра масс;
5. Iz – момент инерции относительно оси Oz.


1 | 2 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)