Пример выполнения типового расчета
Задача. Пространственная область G, ограничена поверхностями z = 4 – x 2 – y 2, z = 0, y = 0 (y ≥ 0). Объемная плотность области G равна γ (x, y, z) = 3 . Решение. Тело ограничено поверхностью параболоида и двумя координатными плоскостями. Проекцией тела на плоскость Oxy является полукруг (рис. 1). Поэтому при вычислениях удобно использовать цилиндрическую систему координат. В этой системе уравнение параболоида запишется: z = 4 – x 2 – y 2 <=> z = 4 – ρ 2 и тело G можно записать системой неравенств: G:
Рис. 1
Объем тела найдем по формуле (1): Найдем массу тела по формуле (2). Плотность его равна γ = 3 = 3 ρ. Для нахождения координат центра масс вычислим сначала статические моменты тела относительно координатных плоскостей по формулам (3) – (5): Внутренний и промежуточный интегралы здесь совпадают с соответствующими интегралами в выражении для Mxz, поэтому переходим сразу к заключительному этапу вычисления. Координаты центра масс найдем по формулам (6) – (7): Момент инерции тела относительно оси Oz найдем по формуле (8): Jz Ответ: V = 4π ≈ 12,57; Mxz = 32; Myz = 0; xc = 0; yc = zc = Jz =
1 | 2 | Поиск по сайту:
|