 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Основные операции над тензорами
Выше уже были введены операции сложения тензоров и умножения тензора второго ранга на число. Введем еще ряд операций. Мы дадим не совсем строгие определения, а только необходимый минимум для понимания происходящего на примере диад.
Внутреннее умножение тензоров второго ранга
Двум тензорам второго ранга A = ab и B = cd поставим в соответствие тензор C по правилу
| C = A · B = (ab)·(cd) = (b · c) ad. | (8) |
Внутреннее умножение не коммутативно A · B ≠ B · A, т.к.
| B · A = (cd)·(ab) = (d · a) cb. | (9) |
Внутреннее умножение ассоциативно
| (A · B)· C = A ·(B · C) = A · B · C |
и дистрибутивно
| (A + B)·(C + D) = A · C + A · D + B · C + B · D. |
Двойное внутреннее умножение тензоров второго ранга
Двум тензорам второго ранга A = ab и B = cd поставим в соответствие число α по правилу
| α = A ·· B = (ab)··(cd) = (b · c)(a · d). | (10) |
Двойное внутреннее умножение коммутативно
| A ·· B = B ·· A |
и дистрибутивно
| (A + B)··(C + D) = A ·· C + A ·· D + B ·· C + B ·· D. |
Транспонирование тензора
Тензору A = ab поставим в соответствие тензор, построенный по правилу
| AT = (ab) T = ba. | (11) |
Скалярное произведение тензоров
Двум тензорам второго ранга A = ab и B = cd поставим в соответствие число α по правилу
| α(A, B) = A ·· BT = (ab)··(cd) T = (b · d)(a · c). | (12) |
Важное свойство скалярного произведения, отличающее его от двойного внутреннего
| A ·· AT = 0 => A = 0. | (13) |
Скалярное произведение коммутативно α(A, B) = α(B, A) = B ·· A T.
Скалярное умножение тензора на вектор справа (слева)
Поставив тензору A = ab и вектору c вектор по правилу
| A · c = a (b · c) = ab · c, | (14) |
мы получим произведение тензора на вектор справа. Если же используется правило
| c · A = (c · a) b = c · ab, | (15) |
то говорят, что задано произведение на вектор слева.
Важно:
| A · c ≠ c · A, | |
| A · c = c · AT. |
Определение: тензор второго ранга 1 называется единичным, если для любого вектора x справедливо равенство
| x · 1 = 1 · x = x, | (16) |
Для любого тензора A справедливо тождество
| A · 1 = 1 · A = A. |
Векторное умножение тензора на вектор справа (слева)
Аналогично скалярному вводятся векторные произведения справа и слева
| A × c=a (b × c) = ab × c, | (17) |
| c × A= (c × a) b = c × ab, | (18) |
результатом является тензор второго ранга.
Полезные тождества
| A × c = – [ c × AT ] T, | |
| a × 1 × b = ba – (b · a) 1. |
След тензора второго ранга
Пусть тензор A есть совокупность диад
| A = ab + … + cd | (19) |
Следом тензора («tr» от trace, «Sp» от Spur – иногда можно встретить в немецкоязычной литературе) называется число, вычисляемое по правилу
| tr A = Sp A = a · b + … + c · d. | (20) |
Справедливы тождества tr A = tr A T, tr(A · B) = tr(B · A) = A ·· B, tr(A · B) = tr(A T · B T).
8. Векторный инвариант тензора второго ранга
Пусть тензор A есть совокупность диад
| A = ab + … + cd. | (21) |
Векторным инвариантом тензора называется вектор, вычисляемый по правилу
| A × = a × b + … + c × d. | (22) |
Полезное тождество (a × 1)× = –2 a.
Поиск по сайту: