Основные теоретические сведения. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского

В.И. Кривошеев

Спектральные представления сигналов

Учебно-методическое пособие

Нижний Новгород

УДК 621.391.828

Спектральные представления сигналов / Сост. В.И.Кривошеев. - Н.Новгород: ННГУ, 2005. - 34 с.

Учебно-методическое пособие содержит методические указания к практическим занятиям, разработанные в соответствии с программой курса "Основы радиоэлектроники" для студентов, обучающихся по специальностям "Радиофизика и электроника" и "Информационные системы". Указания содержат основные теоретические сведения по рядам Фурье и преобразованию Фурье, примеры решения задач спектрального анализа радиотехнических сигналов, задачи для самостоятельной работы.

Составитель доцент В. И. Кривошеев

Рецензент доцент В.Д.Пикулин

Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского, 2005

РЯДЫ ФУРЬЕ. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Основные теоретические сведения

Понятие ряда Фурье связано с именем французского инженера Жана Батиста Жозефа де Фурье (1768 – 1830 г.г.), который 21 декабря 1807 г. на заседании Французской академии выступил с утверждением о том, что произвольную функцию, заданную на некотором конечном интервале любой негладкой и даже разрывной кривой, можно представить бесконечной суммой косинусоидальных и синусоидальных функций. Эта теорема, воспринятая поначалу математиками как совершенно невероятная, стала предметом их пристального внимания в течение столетия и в настоящее время признается как одно из величайших достижений в истории математики.

Итак, пусть на интервале времени (t ₁, t ₂) задана бесконечная система действительных функций u ₁(t), u ₂(t),…, u_n (t), … взаимно ортогональных друг другу, т.е.

Обобщенным рядом Фурье называют следующее соотношение, представляющее произвольную детерминированную функцию времени s (t):

(1.1)

где

Совокупность коэффициентов { c_i } носит название спектра сигнала s (t), а произведение c_iu_i (t) определяется как спектральная составляющая сигнала. Таким образом, обобщенный ряд Фурье представляет функцию в виде суммы спектральных составляющих. Для множества комплексных функций { u_i (t)}, взаимно ортогональных на интервале (t ₁, t ₂), т.е. для которых справедливо соотношение:

ряд (1.1) представляется в виде:

(1.2)

где * - знак комплексного сопряжения.

Таким образом, для одной и той же функции можно написать много рядов Фурье, различающихся выбором ортогональных систем функций. Какому из рядов отдать предпочтение? Решение зависит от целей, поставленных при представлении сложной функции рядом Фурье. Так для радиофизических применений наибольшее распространение получили представления сигналов тригонометрическим и эквивалентным ему комплексным экспоненциальным рядами Фурье, поскольку именно такие представления позволяют существенно упростить решение задач прохождения сигналов через линейные стационарные (с постоянными параметрами) системы. Действительно, целесообразность представления сложного сигнала суммой простых (элементарных) связана со справедливостью для линейных систем принципа суперпозиции, позволяющего находить реакцию системы на сумму воздействий как сумму реакций на элементарные компоненты входного сигнала. Выбор же в качестве элементарных сигналов ортогональной системы синусоидальных и косинусоидальных функций объясняется тем обстоятельством, что среди действительных функций времени только гармонические колебания сохраняют свою форму при прохождении через линейные стационарные системы, изменяя лишь амплитуду и фазу. Поэтому для анализа передачи гармонических колебаний через линейные цепи разработаны весьма простые методы (метод комплексных амплитуд или символический метод).

Поскольку система тригонометрических функций кратных аргументов { sin n W t, cos n W t } является полной и ортогональной на интервале времени (t ₀ , t ₀ +T), где t ₀ - произвольная величина, а T=2p/ W - период базисных функций, то произвольный сигнал s (t) с конечной энергией на интервале (t ₀ , t ₀ +T) представим рядом

(1.3)

Коэффициенты a ₀, a_n и b_n определяются соотношениями:

(1.4)

Соотношения (1.3) и (1.4) определяют тригонометрический ряд Фурье, который также можно записать в виде:

(1.5)

где (1.6)

Для множества комплексных экспоненциальных функций { e^{jn W t} } (n= 0, ±1, ± 2,…), взаимно ортогональных на интервале (t ₀, t ₀+ T) при любом t ₀ и T=2p/ W, соотношения (1.2) определяют экспоненциальный ряд Фурье:

(1.7)

где . (1.8)

Заметим, что тригонометрический (1.3) и экспоненциальный (1.7) ряды Фурье не являются двумя различными типами рядов, а представляют два способа выражения одного ряда. Действительно, формулы (1.4) и (1.8) позволяют убедиться в справедливости выражений, связывающих коэффициенты рядов (1.3) и (1.7):

(1.9)

До сих пор речь шла о представлении функции s (t) рядом Фурье на конечном интервале (t ₀, t ₀+ T). Вне этого интервала функция s (t) и соответствующий ей ряд Фурье могут не совпадать. Однако, если s (t) - периодическая с периодом Т функция, то представление ее рядом Фурье справедливо на всем бесконечном интервале времени (-¥, ¥). Действительно, для периодической функции s (t) справедливо: s (t) = s (t+mT), m= ±1, ±2…. Очевидно, что правая часть (1.7) есть периодическая функция (с периодом T=2p/ W), поскольку e^{jn W t} = e^{jn W (t+mT)}. Таким образом, для периодической функции s(t) с периодом Т ряды (1.3), (1.4) и (1.7), (1.8) справедливы для всего интервала (-¥, ¥), причем величина t ₀ произвольная.

Поиск по сайту: