Примеры нахождения спектров периодических сигналов

1. Представим рядом Фурье периодическую последовательность прямоугольных видеоимпульсов, изображенную на рис. 1.

Рис.1

Аналитическая запись этого сигнала на интервале в один период имеет вид:

Для нахождения коэффициентов экспоненциального ряда Фурье выберем

t₀ = -t/2:

где введено обозначение скважности импульсной последовательности q=T/t и учтено, что W =2p/T.

Итак, экспоненциальный (комплексный) ряд Фурье имеет вид:

. (1.10)

С учетом действительности коэффициентов имеем для коэффициентов тригонометрического ряда соотношения:

Поэтому тригонометрический ряд Фурье принимает форму:

(1.11)

При действительных коэффициентах для графического представления частотного спектра достаточно одного графика (рис.2).

Рис.2

На рис. 3а и 3б представлены физические амплитудный и фазовый j_n (w) спектры соответственно. При построении фазового спектра изменение знака функции отнесено к скачку ее фазы на p с учетом соотношений , где k = 0, 1, 2, ….

Полезно изучить изменения, происходящие в спектре последовательности при изменении длительности импульсов t и периода их повторения T, построив спектры для конкретных значений указанных параметров, как это предложено в задаче 1.

Рис.3

2. Представим экспоненциальным рядом Фурье «выпрямленное» синусоидальное колебание , изображенное на рис.4.

Рис.4

Для этой функции T=p/ W₁, W=2W₁. Выбрав t ₀ =0, имеем:

Экспоненциальный ряд Фурье имеет вид:

а спектр представлен на рис.5.

Рис.5

Обратите внимание на обогащение спектра синусоидального сигнала после его нелинейного преобразования.

3. Представим тригонометрическим рядом Фурье периодическую последовательность импульсов, образованную сигналом U_mcos W t, ограниченным на уровне U ₀ (| U ₀|< U_m) и изображенном на рис.6. Период последовательности T=2p ¤ W.

Для характеристики такого сигнала вводят специальный параметр - угол отсечки q, определяемый из соотношения U_mcosq = U ₀, т.е. q=arccos (U₀/U_m). Величина 2 q определяет длительность импульсов, выраженную в угловых единицах.

Рис.6

Из рис.6 очевидна аналитическая запись одного импульса рассматриваемой последовательности:

s (t) = U_mcos W t – U₀, -q < W t <q.

В силу четности s (t) коэффициенты

поэтому ряд Фурье принимает вид:

.

Постоянная составляющая последовательности:

Амплитудный коэффициент первой гармоники:

Аналогичные вычисления приводят к следующему соотношению для амплитудных коэффициентов a_n гармонических составляющих при n =2, 3, 4, …:

.

Результат записывают в виде:

a₀=U_mg₀ (q) ,…,a_n=U_mg_n (q), где g₀ (q), g₁ (q) ,…, g_n (q), …- так называемые функции Берга:

, , …,

.

Выбор режима работы (угла отсечки) нелинейного устройства, формирующего импульсы из гармонического колебания, весьма важен при усилении колебаний, умножении частоты и других преобразованиях. Графики функций Берга, таблица и программа для расчета их на ЭВМ приведены в [2].

Поиск по сайту: