Решение систем нелинейных уравнений

Механизм поиска решений также позволяет нахо­дить решения систем нелинейных уравнений.

Пример. Решить следующую систему уравнений

Известно, что решение данной системы уравнений совпадает с решением следующего уравнения с двумя неиз­вестными:

(x² + у² - 2)² + (3х + 2у - 2)² = 0.

Численное решение нелинейной задачи зависит от начального прибли­жения, удачный подбор которого очень важен. Одним из способов локализации корней является табуляция. Excel располагает механизмом Таблица подстановки, позволяющим решать подобную задачу. Результат табуляции по переменным х и у на отрезке [-3, 3] с шагом 1,5 приведен на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Результат табуляции уравнения

В ячейки С9 и С10 помещены значения х и у, а в ячейку В2 - соответствующее выражение, вычисляющее левую часть уравнения при значениях х и у из диапазонов C2:G2 и B3:B7 соответственно. Из рис. 2.4 видно, что за начальное приближение к корню можно выбрать следующие пары значений (0; 1,5) – ячейка Е6, (1,5; 0) – ячейка F5. Можно убедиться, что две последние пары начальных приближений с помощью, средства поиска ре­шений будут приводить к нахождению одного и того же решения.

Для нахождения корня в открывшемся диалоговом окне Поиск решения в поле Установить целевую ячейку необходимо ввести адрес ячейки, в которой задана функция ($B$2). В поле Изменяя ячейки - адреса ячеек C9;C10. В группе Равной устанавливается переключатель в положение Значению, в поле ввода которого вводится 0. При этом в диалоговом окне Параметры поиска решения флажок Линейная модель должен бытьснят.

После нажатия на кнопку Выполнить в ячейках C9 и C10 помещается решение. В данном случае это будут значения -0,25995; 1,390099. Если в диалоговом окне Результаты поиска решения в качестве типа отчета выбрать Результаты, Excel открывает дополнительный лист, представленный на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Отчет по результатам решения системы уравнений

3.

3.1. Транспортная задача

Одну из традиционных задач экономики, транспортную задачу, можно решить с помощью средства Excel Поиск решения. Рассмотрим пример решения этой задачи. Пусть фирма имеет 4 фабрики и 5 центров распределения ее товаров. Фабрики фирмы располагаются в Полтаве, Чернигове, Николаеве и Херсоне с объемами производства 200, 150, 225 и 175 единиц продукции ежедневно. Центры распределения товаров фирмы располагаются в Киеве, Харькове, Донецке, Одессе и Львове с объемами потребления в 100, 200, 50, 250 и 150 единиц продукции ежедневно. Хранение на фабрике единицы продукции обходится в 0,75 грн в день. Штраф за просрочку поставки единицы продукции составляет 2,5 грн в день. Стоимость перевозки единицы продукции приведена в таблице 3.1.

Таблица 3.1. Стоимость перевозки единицы продукции

Необходимо так спланировать перевозки, чтобы минимизировать суммарные транспортные расходы.

Данная модель является сбалансированной: суммарный объем произведен­ной продукции равен суммарному объему потребления. Однако на практике встречаются более сложные задачи, когда возможны как перепроизводство, так и дефицит. В этих случаях необходимо было бы ввести:

· в случае перепроизводства – фиктивный пункт распределения, стои­мость перевозок единицы продукции в который полагается равной стоимости складирования, а объемы перевозок – объемам складирова­ния излишков продукции на фабриках;

· в случае дефицита – фиктивную фабрику, стоимость перевозок едини­цы продукции с которой полагается равной стоимости штрафов за недо­поставку продукции, а объемы перевозок – объемам недопоставок про­дукции в пункты распределения.

Неизвест­ными в данной задаче являются объемы перевозок. Пусть x_ij – объем пере­возок с i -ой фабрики в j- ый центр распределения. Сум­марные транспортные расходы можно найти из выражения

где с_ij – стоимость перевозки единицы продукции с i-й фабрики в j- ый центр потребления.

Неизвестные в данной задаче должны удовлетворять следующим ограниче­ниям:

- объемы перевозок не могут быть отрицательными, т.е. x_ij ³0;

- так как модель сбалансирована, то вся продукция должна быть вывезена с фабрик, а потребности всех центров распределения должны быть пол­ностью удовлетворены, т.е.

.

Для решения этой задачи с помощью средства Поиск решения введем дан­ные, как показано на рисунке 3.1.

Рис. 3.1. Исходные данные транспортной задачи

В ячейки B5:F8 введены стоимости перевозок. Ячейки B11:F14 отведены под значения неизвестных объемов перевозок. В ячейки G5:G8 введены объемы производства на фабриках, а в ячейки B9:F9 введена потребность в про­дукции в пунктах распределения. В ячейку G15 введена целевая функция {=СУММПРОИЗВ (B5:F8;B11:F14)}.

В ячейку B15 необходимо ввести формулу {=СУММ(B11:B14)} и скопировать ее до ячейки F15. Тогда в ячейках B15:F15 будут представлены объемы продукции, ввозимой в центры распределения.

Аналогично в ячейку G11 необходимо ввести формулу {=СУММ(B11:F11)} и скопировать ее до ячейки G14. Тогда в ячейках G11:G14 будет находиться объем продукции, которая вывозится с фабрик.

Затем необходимо выбрать команду Сервис / Поиск решения и заполнить открывшееся диалоговое окно Поиск решения, как показано на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Диалоговое окно Поиск решения для транспортной задачи

В диалоговом окне Параметры поиска решения важно установить флажок Линейная модель. После нажатия кнопки Выполнить будет найден опти­мальный план поставок продукции и соответствующие ему транспортные расходы. Результат решения транспортной задачи представлен на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Оптимальное решение транспортной задачи

3.2. Задача о назначениях

Средство Excel Поиск решения можно использовать также для решения еще одной экономической задачи, задачи о назначениях. Рассмотрим пример ее решения. Пусть четверо рабочих могут выполнять четыре вида работ. Стоимости с_ij выполнения i -м рабочим j -ого вида работы приведены в таблице 3.2.

Таблица 3.2. Стоимость выполнения работ

Необ­ходимо составить такой план выполнения работ, чтобы все работы были вы­полнены, а каждый рабочий был загружен только на одной работе. Суммар­ная стоимость выполнения всех работ должна быть минимальной.

Данная модель является сбалансированной, т. е. число работ совпадает с чис­лом рабочих. В случае несбалансированной модели перед началом решения ее необходимо сбалансировать, введя недостающее число фиктивных строчек или столбцов с достаточно большими штрафными стоимостями работ.

При решении этой задачи удобно использовать следующую таблицу x_i: еестроки – номера рабочих, а столбцы – номера работ. Тогда если i -й работник выполняет i –ю работу, то поместить в ячейку таблицы ij x_ij= 1. Если нет, то x_ij= 0. Иначе порядок заполнения таблицы можно представить так:

Тогда суммарную стоимость выполнения всех работ можно найти из выражения

.

Неизвестные в данной задаче должны удовлетворять следующим ограничениям:

Рис. 3.4. Исходные данные задачи о назначениях

В ячейку K1 введем целевую функцию {=СУИМПРОИЗВ(G3:J6;B3:E6)} вычисляющую стоимость работ. В ячейку G7 необходимо ввести формулу {=СУММ(G3:G6)} и скопировать ее до ячейки J7,а в ячейку K3 необходимо ввести формулу {=СУММ(G3:J3)} и скопировать ее до ячейки K6. Тогда в ячейках K3:K6, G7:J7 будут заданы левые части ограничений.

Затем необходимо выбрать команду Сервис, Поиск решения и заполнить открывшееся диалоговое окно Поиск решения, как показано на рис. 3.5.

В диалоговом окне Параметры поиска решения важно устано­вить флажок Линейная модель. После нажатия кнопки Выполнить средство поиска решений найдет оптимальный план выполнения работ. Результаты решения задачи о назначениях представлены на рис.3.6.

Рис. 3.5. Диалоговое окно Поиск решения задачи о назначениях

Рис. 3.6. Оптимальный план работ в задаче о назначениях

3.3. Линейная оптимизационная задача

В данном разделе рассмотрим, как с помощью средства Поиск решения решаются линейные оптимизационные задачи на примере трех типичных ситуаций: планирование производства, составление сплавов или смесей и планирование штатного расписания.

3.3.1. Планирование производства красок

Рассмотрим следующую задачу планирования производства. Небольшая фаб­рика выпускает два типа красок: для внутренних (I) и наружных (Е) работ. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта А и В. Максимально возмож­ные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн, соответственно. Расходы продуктов А и В на 1т соответствующих красок приведены в табл. 3.3.

Таблица 3.3. Исходные данные задачи о планировании производства красок

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены од­ной тонны красок равны: C_E = 3000 грн для краски Е и C_I = 2000 грн для краски I. Необходимо определить, какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

Обозначим суточный объем производства краски каждого вида, как х _I и x _E, соответственно. Суммарная суточная прибыль от производства x_I краски I и x_E краски Е равна z= C_E x_E + C_I х_I. Целью фабрики является определение среди всех допустимых значений и х_i таких, которые максимизируют суммар­ную прибыль, т. е. целевую функцию z.

Введем следующие ограничения, которые налагаются на x_E и х_I.. Объем производ­ства красок не может быть отрицательным, следовательно: x_E, х_I. >= 0.

Расход исходного продукта для производства обоих видов красок не может превосходить максимально возможный запас данного исходного продукта, следовательно: x_E + 2 х_I. <=6, 2 x_E + х_I <= 8.

Кроме того, ограничения на величину спроса на краски таковы: x_E - х_I <=1, х_I <=2.

Заполним рабочий лист следующим образом (см. рис. 3.7):

– отведем ячейки B6 и C6 под значения переменных x_E и х_I;

– в ячейки В5 и С5 введем значения оптовых цен одной тонны краски I и E соответственно;

– выражение для определения целевой функции поместим в ячейку D6;

– в ячейки A9:A12 введем левые части ограничений {=B6+2*C6}, {=2*B6+C6}, {=C6-B6}, {=C6}, а в ячейки B9:B12 – правые части, т.к. в поля диалогового окна нельзя вводить формулы.

Рис. 3.7. Диапазоны, отведенные под переменные, целевую функцию и ограничения

Активизируем диалоговое окно Поиск решения и за­полним, как показано на рис. 3.8.

Рис. 3.8. Диалоговое окно Поиск решения задачи о планировании производства красок

Результаты расчета задачи (оптимальный план производства и соот­ветствующая ему прибыль) представлены на рис. 3.9. Как видно из рисунка, оптимальным является производство 3 ¹/з т краски Е и 1 ¹/з т краски I в су­тки. Этот объем производства принесет фабрике 12 ²/₃ тыс. грн прибыли.

Рис. 3.9. Результаты расчета с помощью средства поиска решений для задачи планирования производства красок

3. 3. 2. Определение состава сплавов

Рассмотрим задачу: для получения сплавов А и В используются четыре ме­талла I, II, III и IV, требования к содержанию которых в сплавах А и В при­ведены в табл. 3.4.

Таблица 3.4. Требования к содержанию

Характеристики и запасы руд, используемых для производства металловI, II, III и IV, указаны в табл. 3.5.

Таблица 3.5. Характеристики и запасы руд

Пусть цена 1 т сплава А равна 1200 гривен, а 1 т сплава В — 1260 гривен. Необходимо максимизировать прибыль от продажи сплавов А и В.

Обозначим через х _{1 A} , х _{2 A} , х _{3 A} , х _{4 A} и х _{1 B} , х _{2 B} , х _{3 B} , х _{4 B} количество I, II, III и IV металлов, используемых для получения сплавов А и В, соответственно. Ко­личество использованной i -й руды обозначим у_i, i Î[1, 3].

Тогда прибыль от продажи сплавов А и В можно определить с помощью выражения:

z =1200(х _{1 A} + х _{2 A} + х _{3 A} +х _{4 A} ) +1260(х _{1 B} + х _{2 B} + х _{3 B} +х _{4 B} ) - 180 у ₁ - 240 у ₂- 300 у ₃.

На основании данных из табл. 5.2 составим ограничения на состав сплавов

х _{1 A} £ 0,8(х _{1 A} + х _{2 A} + х _{3 A} +х _{4 A} ), х _{2 A} £ 0,3(х _{1 A} + х _{2 A} + х _{3 A} +х _{4 A} ),

х _{2 B} £ 0,6(х _{1 B} + х _{2 B} + х _{3 B} +х _{4 B} ), х _{2 B} ³ 0,4(х _{1 B} + х _{2 B} + х _{3 B} +х _{4 B} ),

х _{3 B} ³ 0,3(х _{1 B} + х _{2 B} + х _{3 B} +х _{4 B} ), х _{4 B} £ 0,7(х _{1 B} + х _{2 B} + х _{3 B} +х _{4 B} ).

Ограничения на характеристики и состав руды на основании данных из табл. 3.5 можно представить в виде:

х _{1 A} + х _{1 В} £ 0,2 у ₁+ 0,1 у ₂ + 0,05 у ₃, х _{2 A} + х _{2 В} £ 0,1 у ₁+ 0,2 у ₂ + 0,05 у ₃,

х _{3 A} + х _{3 В} £ 0,3 у ₁+ 0,3 у ₂ + 0,7 у ₃, х _{4 A} + х _{4 В} £ 0,3 у ₁+ 0,3 у ₂ + 0,2 у ₃.

Необходимо также ввести ограничения на диапазоны использования переменных:

х_iA ³ 0; х_iB ³0; i Î[1, 4]; 0 £ у ₁ £ 1000; 0 £ у ₂ £ 2000; 0 £ у ₃ £ 3000.

Отведем под переменные х_iA, х_iB, i Î[1, 4] диапазон ячеек C3:D6, а под переменные у_i Î[1, 3] — диапазон ячеек F3:F5 (рис. 3.10).

Рис. 3.10. Результат расчета в задаче определения состава сплавов

В ячейку F9 введем функцию цели

{=1200*СУММ(СЗ:С6)+1260*CУMM(D3:D6)-180*F3-240*F4-300*F5}

В диапазоны ячеек С8:С13; D10:D13 введем левые части ограничений, причем преобразу­ем их к виду, когда все переменные находятся слева, а все знаки нера­венств — меньше или равно:

{=СЗ-О.8*СУММ(СЗ:С6)} { =С4-0.3*СУММ(СЗ:С6)} {=D4-0.6*CVMM(D3:D6)} {=0.4*CVMM(D3:D6)-D4} {=0.3*CУMM(D3:D6)-D5} {=D6-0.7*CУMM(D3:D6)}

{=СУММ(СЗ:D3) - 0.2*$F$3 - 0.1*$F$4 - 0.05*$F$5}

{=СУММ(С4:D4) - 0.1*$F$3 - 0.2*$F$4 - 0.05*$F$5}

{=CУMM(C5:D5) - 0.3*$F$3 - 0.3*$F$4 - 0.7*$F$5}

{=CУMM(C6:D6) - 0.3*$F$3 - 0.3*$F$4 - 0.2*$F$5}.

В диапазон ячеек GЗ:G5 введем количество имеющихся запасов руд. Выбе­рем команду Сервис, Поиск решения и заполним диалоговое окно Поиск решения, как показано на рис. 3.11.

Рис. 3.11. Диалоговое окно Поиск решения в задаче определения состава сплавов

Результаты работы средства поиска решений представлены на рис. 3.10.

3.3.3. Планирование штатного расписания

Рассмотрим еще одну линейную оптимизационную задачу - планирование штатного расписания. Пусть авиакомпании требуется определить, сколько стюардесс следует принять на работу в течение шести месяцев при условии, что любая из них должна пройти предварительную подготовку. Потребности в количестве человеко-часов летного времени для стюардесс известны: в январе — 8000, в февра­ле — 9000, в марте — 8000, в апреле — 10000, в мае — 90000 и в июне — 12000.

Подготовка стюардессы к выполнению своих обязанностей занимает один месяц. Следовательно, прием на работу должен, по крайней мере, на один месяц опережать ввод стюардессы в строй. Кроме того, каждая стюардесса должна в течение месяца, отведенного на ее подготовку, пройти 100-часовую практику непосредственно во время полетов. Таким образом, за счет каждой обучаемой стюардессы в течение месяца освобождается 100 челове­ко-часов летного времени, отведенного для уже обученных стюардесс.

Каждая полностью обученная стюардесса в течение месяца может иметь на­лет до 150 часов. Авиакомпания в начале января уже имеет 60 опытных стю­ардесс. При этом ни одну из них не снимают с работы. Установлено также, что приблизительно 10% обучаемых стюардесс по окончании обучения увольняются по каким-либо обстоятельствам. Опытная стюардесса обходит­ся авиакомпании в 4800 грн, а обучаемая — в 2400 грн в месяц. Необходимо спла­нировать штат авиакомпании таким образом, чтобы минимизировать из­держки за отчетные шесть месяцев.

Данную задачи удобнее проанализировать в форме таблицы (см. рис. 3.12). Отведем диапазон ячеек ВЗ:В8 под число новых стюардесс, принимаемых на работу с января по июнь.

Рис. 3.12. Исходные данные задачи о планировании штатного расписания

В ячейку В2 введем число стюардесс, работающих в декабре. В диапазоне ячеекD3:D8 вычислим число стюардесс, постоянно работающих в текущем месяце, введя в ячейкиD3 и D4 формулы {=В2}, {=D3+0.9*B3}. Последнюю скопируем их до ячейки D8. В диапазоне ЕЗ:Е8 вычислим налет по месяцам, введя в ячейку ЕЗ формулу {=D3*$E$12+B3*$D$12}, и скопируем ее до ячейки Е8, где в ячейки D12 и E12 введены допус­тимый налет обучаемой и работающей стюардесс. В диапазоне F3:F8 вычис­лим затраты по месяцам, введя в ячейкуF3 формулу {=D3*$C$12+B3*$B$12} и копируя ее до ячейки F8, где в ячейки B12 и C12 введены затра­ты на обучение и работу стюардессы. Суммарные затраты за пла­нируемый период вычислим в ячейке F9 по формуле { =СУММ(FЗ:F8)}.

Активизируем диалоговое окно Поиск решения изаполним его, как показано на рис. 3.13.

Рис. 3.13. Диалоговое окно Поиск решения задачи о планировании штатного расписания

Результаты расчета оптимального штата стюардесс приведены на рис. 3.14. Согласно этим расчетам фирма в последний месяц планового периода должна взять на обучение 17 новых стюардесс.

Рис. 3.14. Результаты расчета с помощью средства поиска решений
в задаче о пла­нировании штатного расписания

3.4. Уравнение регрессии

В данном разделе рассматривается задача построения регрессионной модели. В подразделе 3.4.1. представлена задача нахождения уравнения регрессии для одной переменной с помощью средства Поиск решения. Предложенный подход позволяет исследовать уравнение регрессии любого вида. В подразделе 3.4.2. приведены функции рабочего листа, непосредственно вычисляющие различные характеристики линейного уравнения регрессии, а в подразделе 3.4.3. – экспоненциального уравнения регрессии, которые позволяют значительно упростить процедуру регрессионного анализа для этих наиболее часто встречающихся на практике моделей.

3.4.1. Общий подход к построению уравнения регрессии на примере линейной модели

Рассмотрим решение задачи на следующем примере. Пусть у – объем реализации продукции фирмы, торгующей подержанными автомобилями, за шесть недель ее работы, а х – моменты времени в неделях. Значения этих величин приведены на рис. 3.14. Необходимо построить линейную модель у = kх + b, наилучшим образом описывающую наблюдаемые значения. Параметры k и b подбираются так, чтобы минимизировать сумму квадратов отклонений между наблюдаемыми значениями величины у и ее значениями, определенными по линейной модели, т. е. минимизировать

где n — число наблюдений (в данном случае n = 6).

Для решения этой задачи отведем под переменные k и b ячейкиD3 и ЕЗ, соответственно. В ячейку С3 введем формулу, отражающую выбранный вид зависимости, {=$D$3*A2+$E$3}. Затем скопируем ее до ячейки С7. В ячейку D6 введем минимизируемую функцию =СУММКВРАЗН(В2:В7;С2:С7)}. В диалоговом окне Поиск решения необходимо установить переключатель в положение Минимальному значению, в качестве целевой указать ячейку D6, а для изменяемых ячеек – диапазон ячеек D3:E3. Отметим, что на переменные k и b ограничения не налагаются. В результате вычислений средство поиска решений найдет следующие значения коэффициентов: k = 1,88571 и b = 5,400.

Рис. 3.14. Построение линейной модели с помощью средства Поиск решения

3.4.2. Функции рабочего листа для уравнения линейной регрессии

Параметры k и Ь линейной модели у = kх + b из предыдущего раздела можно определить с помощью функций НАКЛОН и ОТРЕЗОК.

Функция наклон определяет угловой коэффициент линейного тренда, а функция отрезок –точку пересечения линии линейного тренда с осью ординат. Параметры этих функций – массивы значений y и x. На рисунке 3.14. в ячейке D2 и Е2 были введены соответствующие функции: {=НАКЛОН (В2:В7;А2:А7)}, {=ОТРЕЗОК (В2:В7;А2:А7)}. Результаты вычисления этих коэффициентов совпадают с результатами предыдущего способа решения задачи.

Коэффициенты k и Ь можно найти и другим способом. Для этого необходимо построить точечный график по диапазону ячеек А2:В7 и выделить точки графика двойным щелчком. Далее при вызове правой кнопкой контекстного меню в открывшемся окне выбрать команду Линии тренда (рис. 3.15).

Рис. 3.15. Начало построения линии тренда

В диалоговом окне Линия тренда на вкладке Тип в группе Построение линии тренда (аппроксимация и сглаживание) нужно выбрать параметр Линейная (рис. 3.16), а на вкладке Параметры установить флажки Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверно­сти аппроксимации (R-Z) (т. е. вывести на диаграмму значение квадрата коэффициента корреляции) (рис. 3.17).

Рис. 3.16. Вкладка Тип диалогового окна Линия тренда

Рис. 3.17. Вкладка Параметры диалогового окна Линия тренда

Рис. 3.18. График линии тренда

По коэффициенту корреляции можно судить о правомерности использования линейного уравнения регрессии. Если он лежит в диапазоне от 0,9 до 1, то данную зависимость можно использовать для предсказания результата. Чем ближе к единице коэффициент корреляции, тем более обоснованно это указывает на линейную зависимость между наблюдаемыми величинами. Если коэффициент корреляции близок к -1, то это говорит об обратной зависимости между наблюдаемыми величинами.

Результат выполнения команды Линии тренда приведен на рис. 3.18. Как видно из рисунка, квадрат коэффициента корреляции равен 0,9723, следовательно, линейная модель может быть использована для предсказания результатов.

Однако значение у в точках, не являющихся узлами таблицы, можно вычислить и без предварительного определения коэффициентов линейной модели с помощью функции ПРЕДСКАЗ. В качестве параметров передается: адрес ячейки, для которой предсказывается значение, массивы значений y и x. Аналогом данной функции для многофакторной модели является функция тенденция.

Многофакторная линейная модель регрессии имеет вид у = т ₁ х ₁ +... + т_nх_n + b. Массив коэффициентов { т_n, т_n-1,…, т ₁, b } уравнения может быть определен с помощью функции ЛИНЕЙН.

3.4.3. Экспоненциальная модель

Другой часто встречающейся на практике регрессионной моделью является экспоненциальная модель, которая описывается уравнением у = bт^x или у = bт ₁ ^{x 1}´ т ₂ ^{x 2} ´_…при наличии нескольких переменных. Для определения коэффициентов зависимости используется функция ЛГРФПРИБЛ. Параметрами этой функции являются массивы значений у и x, логические параметры, указывающие на равенство 1 коэффициента b и необходимости вывода коэффициента корреляции.

Например, на рис.3.19 в диапазоне ячеек А2:В7 размещены значения x и у, а под значения искомых коэффициентов экспоненциальной модели b и m отведены ячейки F3, G3. Для заполнения ячеек коэффициентов необходимо:

– выделить ячейки F3, G3;

– вызвать конструктор формул и указать параметры функции или ввести { ЛГРФПРИБЛ(B2:B7;A2:A7) };

– при завершении ввода функции нажать < Ctrl + Shift + Enter > (для функций, возвращающих массивы).

Другим способом получения коэффициентов экспоненциальной модели и построения графической зависимости является использование линии тренда. На рис.3.19. изображен точечный график зависимости исследуемых величин и линия экспоненциального тренда (m=е=2,72)

Рис. 3.19. Экспоненциальная линия тренда

Квадрат коэффициента корреляции экспоненциальной модели равен 0,947 (рис. 3.19) и меньше квадрата коэффициента корреляции линейной модели (= 0,9923) (рис. 3.18). Таким образом, в данном примере линейная модель более достоверно описывает зависимость между наблюдаемыми величинами.

Поиск по сайту: