|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Частные производные высших порядковВолгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ
Лекция № 25 по теме: «Частные производные высших порядков. Теорема о независимости от порядка дифференцирования. Формула Тейлора для функции двух переменных.»
Волгодонск Частные производные высших порядков. Пусть функция двух переменных имеет частные производные и , которые тоже зависят от двух переменных x и y Þ их тоже можно продифференцировать. Определение: Частная производная от частных производных называются частными производными второго порядка. , , . , , , Аналогично можно ввести понятие частного производного 3, 4 и высших порядков.
Теорема: Если функция непрерывна вместе с частным производным до второго порядка включительно, то смешанные производные второго порядка равны между собой. Доказательство: Рассмотрим выражение: Если ввести вспомогательную функцию: , то можно A представить в виде: . Поскольку определена в окрестности точки (x,y), следовательно, дифференцируема на отрезке . Тогда применяя теорему Лагранжа, получим: , где . Но . Поскольку определена в окрестности точки (x,y), то дифференцируема на отрезке . Применяя к разности теорему Лагранжа имеем: , где . Следовательно первоначальное выражение имеет вид: . Переставим слагаемые в первоначальном выражении: и проведем аналогичные рассуждения. В результате получим: , откуда следует . Переходя в этом равенстве к пределу и учитывая, что производные непрерывны в точке, окончательно получаем: . Аналогичная теорема имеет место для функций большего числа переменных. Кроме того, данная теорема справедлива для производных порядка выше чем два. Пример: Найти все частные производные до 3 порядка включительно функции: Решение:
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.008 сек.) |