АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Задача Коши для гиперболического уравнения с запаздывающим аргументом. Обобщенная формула Даламбера

Читайте также:
  1. C) Любой код может быть вирусом для строго определенной среды (обратная задача вируса)
  2. Абсолютное изменение объема выпуска продукции под влиянием изменения численности работников рассчитывается по формулам
  3. Барометрическая формула
  4. Барометрическая формула. Распределение Больцмана
  5. БУДУЩЕЕ – ПЕРЕД ВАМИ СТОИТ НЕЛЕГКАЯ ЗАДАЧА. В ОДИНОЧКУ ВЫ С НЕЙ НЕ СПРАВИТЕСЬ.
  6. Величины всех парциальных давлений р и барометрического давления В в формулах (51-52) должны иметь одинаковую размерность (например бар или Па).
  7. Вопрос 10. Задача
  8. Вопрос 18. Задача
  9. Вопрос 24. Задача
  10. Вопрос 26. Задача
  11. Вопрос 36. Задача
  12. Вопрос 38. Задача

Пусть , где

, , .

Рассмотрим в области D уравнение:

(1)

, -функция Хевисайда.

Задача К. Найти в области D решение уравнения (1) из класса , удовлетворяющее начальным условиям

(2)

(3)

где -заданные непрерывные достаточно гладкие функции,причем .

Теорема. Если , , абсолютно интегрируемы на , то решение задачи К существует и единственно.

Доказательство. Решение задачи Коши (1)-(3) в области D найдено с помощью непосредственно проверяемого общего решения уравнения (1) вида

, (4)

если

Φ , (5)

где

Φ = , (6)

а

Φ = Φ - (7)

- интеграл Эрдейи-Кобера [8, c.246-247], причем Φ = Φ , , -гамма-функция[9], -произвольные, дважды непрерывно-дифференцируемые функции.

Для определения функций из (6) воспользуемся начальными условиями (2)-(3) задачи Коши. В результате получим интегро-разностные уравнения:

, (8)

где , и

Φ , (9)

= , (10)

причем

. (11)

Интегро-разностное уравнение (8) при пошаговом обращении [?, c.17-18] приводит к решению вида (11), в котором:

. (12)

Решения системы (9)-(10) можно записать в форме

( 13)

Подставляя (13) в (4)-(6), получим решение задачи Коши (1)-(3) в области D

, (14)

если

, (15)

где

, (16)

причем определяются равенствами (11)-(12).

Решение , т.к при , , , абсолютной интегрируемости на функции , , , абсолютно интегрируемы на и операторы Эрдейи-Кобера этих функций ограничены [8, c.246].

Решение (14)-(16) задачи Коши (1)-(3) единственно в силу построения и является обобщенной формулой Даламбера для дифференциально-разностного гиперболического уравнения (1).

Замечание 1. Аналогично можно найти решение в области D из класса задачи [10] Коши для уравнения

, (17)

, -функция Хевисайда, в форме

 

, (18)

если

, (19)

где

, (20)

причем

, (21)

когда

, (22)

а .

При этом следует воспользоваться общим решением в виде (4), где

.

Замечание 2. Аналогично можно найти решение в области D из класса задачи [11] Коши для уравнения с дифференциально-разностным оператором:

, (23)

, -функция Хевисайда, в форме:

 

, (24)

если

, (25)

где

, (26)

причем

, (27)

когда

, (28)

а и .

При этом следует воспользоваться общим решением в виде (4), где

.

Замечание 3. Задачу Коши для уравнений (1), (17), (23) можно рассмотреть в области

,

и в области .

Все формулы будут совпадать с выше приведенными для соответствующих уравнений за исключением того, что вместо следует ставить , т.к .

Замечание 4. В неограниченном характеристическом треугольнике можно построить решения первой и второй задач Дарбу для уравнений (1), (17), (23), используя общие решения этих уравнений, которые были приведены выше.

Замечание 5. В неограниченном характеристическом четырехугольнике можно построить решение задачи Гурса для уравнений (1), (17), (23), используя общие решения этих уравнений, которые были приведены выше.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.008 сек.)