Задача Неймона-Дирихле

Найти в области решение уравнения

(16)

из класса , удовлетворяющее граничным условиям

где абсолютно интегрируемы на своих промежутках, причём , .

Решение имеет вид

если

а

,

причём

§3. Задача Дирихле для дифференциально-разностных уравнений в полуполосе. Метод общего решения (операторный метод).

Уравнение

(1)

функция Хевисайда, рассмотрим в области , причём ,

.

Задача Дирихле. Найти в области решение уравнения (1) из класса , удовлетворяющее условиям

(2)

(3)

(4)

(5)

где – заданные непрерывные достаточно гладкие функции, причём

Теорма 1. Однородная задача Дирихле имеет тривиальное решение.

Доказательство теоремы может быть проведено аналогично §2.

Теорема 2. Если абсолютно интегрируемы на и , то существует решение задачи Дирихле (1)-(5).

Доказательство. Общее решение уравнения (1)в области имеет [ ] вид

(6)

если

(7)

где

(8)

а

(9)

интеграл Эрдейи-Кобера [8], причём

– произвольные дважды непрерывно-дифференцируемые функции, подлежащие определению.

Учитывая в (6)-(8) условия (4)-(5), будем иметь

(10)

(11)

где

(12)

(13)

причём , а (14)

Интегральные уравнения (10)-(11) с запаздывающим аргументом представляют собой соотношения, пошаговое обращение [7] которых приводят к решениям вида (14), в которых

(15)

(16)

Из системы (12)-(13), т.е.

имеем

(17)

(18)

Уравнение (18) запишем в форме

или

Разностное уравнение

(19)

где

(20)

а – оператор сдвига, действующий по переменной имеет единственное решение, полученное методом последовательных приближений

или, с учётом (20),

(21)

Тогда, согласно (17),

(22)

Учитывая в (8) равенства (21)-(22), найдём

(23)

Можно показать, что при выполнении условий теоремы на функции (они могут быть представлены интегралами Фурье), ряды в (23) равномерно сходятся на и их можно почленно дифференцировать по и дважды. Выражение (6) удовлетворяет уравнению (1) и условиям (2)-(5), т.к. абсолютно интегрируемы на , и операторы Эрдейи-Кобера этих функций ограничены [8, 246].

Интегральное представление решения (6), (7), (23) задачи Дирихле в области найдём исходя из того, что любая непрерывная [16, с.254] на функция

(24)

где

(25)

дельта-функция Дирака.

Действительно, для первого слагаемого выражения (23), в силу (24)-(25) и формул 5.4.12.4; 2.5.46.8 из [17] имеем

Аналогичные преобразования во втором слагаемом (23) приводят к представлению

(26)

а само решение задачи Дирихле (1)-(5) в области в интегральной форме будет определяться равенствами (6), (7), (26).

Поиск по сайту: