ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

Рассмотрим функцию , определенную в замкнутой области Разобьем область сетью дуг на элементарных областей , площади которых обозначим теми же символами, а наибольший из диаметров элементарных областей обозначим через . В каждой элементарной области выберем произвольную точку и вычислим значения функции в этих точках.

Интегральной суммой для функции по области называется сумма произведений вида:

.

Двойным интегралом от функции по области называется предел соответствующей интегральной суммы при , при условии, что этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области на элементарные области , ни от выбора точек в них:

.

Двойной интеграл допускает следующую геометрическую интерпретацию:

,

то есть двойной интеграл от функции по области равен объему цилиндроида с основанием , который ограничен сверху поверхностью . В частности, (при )

–

площади плоской фигуры .

Двойной интеграл допускает следующую физическую интерпретацию:

–

масса плоской пластины с поверхностной плотностью .

Для вычисления двойного интеграла введем понятие стандартной области.

Стандартной областью в направлении данной оси координат называется такая область, для которой любая прямая, параллельная данной оси и имеющая с данной областью общие точки, пересекает границу области только в двух точках: – "точке входа", – "точке выхода", другими словами пересекает саму область и ее границу только по одному отрезку прямой.

Если область является, например, стандартной в направлении оси (см. рис.),

x

0 а в y

то есть ограничена сверху графиком функции , снизу – графиком функции , с боков – прямыми и , то двойной интеграл можно вычислить с помощью "повторного" интеграла:

.

Если область является стандартной в направлении оси и определяется неравенствами (см. рис.),

x

d

c

0 y

то

.

Если область интегрирования не является стандартной, то ее можно разделить на несколько стандартных областей , таких, что . Тогда двойной интеграл можно вычислить как сумму двойных интегралов:

.

№ 1. Расставить пределы интегрирования двумя способами и вычислить двойной интеграл , если область интегрирования ограничена линиями: .

Решение. Построим область интегрирования :

2

1 S

0,5

0 1 2

Так как область является стандартной относительно оси , то двойной интеграл можно вычислить как повторный:

Поменяем порядок интегрирования. Так как область не является стандартной относительно оси , то следует разбить эту область на две стандартные области: при и при . При этом данный двойной интеграл будет вычисляться как сумма двух двойных интегралов:

.

Видно, что выбор порядка интегрирования может оказать существенное влияние на сложность вычисления двойного интеграла.

Ответ: 2,25.

№ 2 – 5. Вычислить повторные интегралы:

№ 2. № 3.

№ 4. № 5.

№ 6 – 9. Для указанных ниже областей записать двойной интеграл

в виде повторных, взятых в различных порядках:

№ 6. – прямоугольник с вершинами , , , .

№ 7. – параллелограмм, ограниченный прямыми , , .

№ 8. – область, ограниченная кривыми , .

№ 9.. – область, ограниченная кривыми , , .

№ 10 – 13. Построить область интегрирования заданного интеграла. Изменить порядок интегрирования и вычислить его при заданном и измененном порядках интегрирования:

№ 10. № 11.

№ 12. № 13.

№ 14 – 17. Вычислите следующие двойные интегралы:

№ 14. где – треугольник с вершинами , , .

№ 15. где – трапеция с вершинами , , , .

№ 16. , где область ограничена кривыми .

№ 17. где область ограничена кривыми .

№ 18 – 21. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:

№ 18.

№ 19.

№ 20. (вне цилиндра).

№ 21.

№ 22 – 23. Вычислить массу неоднородной пластины , ограниченной заданными линиями, если поверхностная плотность в каждой ее точке равна .

№ 22. : ; .

№ 23. : ; .

Двойные интегралы можно вычислять и при помощи замены переменных:

,

где

и

взаимно однозначные, непрерывно-дифференцируемые функции в областях и ; - якобиан или функциональный определитель:

.

Например, если в двойном интеграле перейти к полярным координатам

то он будет вычисляться по формуле:

.

№ 24. Вычислить двойной интеграл

где область ограничена окружностью .

Решение. Построим область интегрирования

0 2 4

Перейдем к полярным координатам . Тогда уравнение окружности примет вид , и область будет ограничена снизу осью , сверху косинусоидой , причем .

Следовательно,

Ответ:

№ 25. – 26. Перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования по новым переменным в следующих интегралах:

№ 25. № 26.

№ 27 – 30. Перейдя к полярным координатам, вычислить следующие интегралы:

№ 27. № 28.

№ 29. , где область – кольцо между двумя окружностями и .

№ 30. , где область ограничена кривыми , .

№ 31 – 32. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:

№ 31.

№ 32. (вне цилиндра).

Поиск по сайту: