Примеры

1) ;

2) ;

3) .

(см. интегралы 6), 10), 3) в табл. 3.1.2).

г) Выделение полного квадрата в случае квадратного трехчлена в знаменателе дроби. Здесь следует пользоваться формулой

и заменой переменных , откуда , .

Пример 1. .

Решение. Используем формулу г), в которой . Имеем

.

Положим далее , откуда . Имеем (см. интеграл 13 в табл. 3.1.2)

.

Пример 2. .

Решение. Выделяем полный квадрат :

.

Следовательно,

.

Положим , тогда . Поэтому, сделав подстановку в интеграле, получим

.

Вычисляем . Заметим, что , значит

.

Использован интеграл 2), табл. 1.1.2. Интеграл - табличный (см.12 в табл. 1.1.2). Итак,

.

3.1.5. Интегрирование " по частям "

.

Прием эффективен при интегрировании функций логарифмической, обратных тригонометрических, а также произведений функций степенной на показательную, тригонометрическую, обратную тригонометрическую. Выбор множителя u (оставшийся множитель в интеграле есть ) обусловлен такими соображениями:

Ø должен иметь простой вид;

Ø первообразная должна легко отыскиваться;

Ø должен оказаться проще (т.е. исходного).

Пример 1. .

Решение. Имеем произведение степенной и показательной функций. Выберем . Тогда . Следовательно,

,

(найдена одна из первообразных по методу 3.1.4, в)). По формуле 3.1.5 имеем

.

Заметим, что возможен был также выбор , но в результате бы интеграл оказался сложнее исходного.

Пример 2. .

Решение. Здесь возможен лишь выбор . Тогда

.

Следовательно,

3.1.6. Интегрирование рациональных дробей. Речь идет о дробях типа и т.п. (отношение многочленов). Дробь правильная, если степень числителя меньше степени знаменателя (первая дробь) и неправильная – в противном случае (например, вторая дробь).

а) Если предстоит интегрировать правильную дробь, то ее знаменатель записываем в виде произведения множителей типа и . После этого дробь будет представляется суммой слагаемых типа

и

интегрирование которых – стандартная задача.

Пример. .

Решение. Имеем

.

Множителю соответствуют два слагаемых: ; множителю – слагаемое , т.е.

.

Если теперь определить коэффициенты А, В, С, то интегрирование сведется к табличному. Приводя дроби к общему знаменателю, получим

или

,

откуда (коэффициенты при одинаковых степенях будут равными)

или .

Следовательно,

.

б) Неправильную дробь можно представить как результат деления с остатком (деления многочленов "углом") в виде

дробь = частное + ,

после чего задача интегрирования сводится к цепочке известных задач.

Пример. .

Решение. Подынтегральная функция – неправильная дробь. Выполнив деление числителя на знаменатель, получим:

.

Теперь выполняем интегрирование:

.

Поиск по сайту: