Площадь фигуры

а) Если плоская фигура D ограничена линиями , где g и f – непрерывны на и при , то ее площадь (см. рис. 3.4.1)

.

В частности, при имеем площадь криволинейной трапеции (рис. 3.4.2)

б) Если задана параметрически, т.е. в виде:

,

причем х пробегает отрезок при (то есть , , ), то площадь криволинейной трапеции, указанной на рис. 3.4.2, находится по формуле

.

Рис. 3.4.3

в) Площадь сектора, определяемого в полярных координатах соотношениями , где – непрерывна на , см. рис. 3.4.3, вычисляется по формуле .

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды

, .

Решение. Изобразим линию; для этого в системе координат х 0 у следует построить точки , которые определяются произвольно выбранными значениями t из промежутка ; см. рис. 1.4.4. Согласно п. б), 3.4.1 имеем:

Рис. 3.4.4

;

использована формула понижения степени, см. 3.1.8.

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой (заданной в полярной системе координат) .

Решение. Изобразим линию. В силу 2p-периодичности функции линия замкнута и достаточно построить точки , определяемые значениями из промежутка . Кроме того, линия симмет-

рична относительно полярной оси (поскольку значения косинусов одинаковы для точек единичной окружности, симметричных относительно оси абсцисс). Поэтому достаточно вычислить площадь, соответствующую значениям (площадь верхней части фигуры) и затем ее удвоить; линия изображена на рис. 3.4.5.

Рис. 3.4.5

.

Поиск по сайту: