АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Монотонні послідовності

Читайте также:
  1. Важкість праці: динамічні, статистичні, навантаження. Напруженість праці. Увага, напруженість аналізаторних функцій, емоційна і інтелектуальна напруженість, монотонність праці.
  2. Важкість праці: Динамічні, статичні навантаження. Напруженість праці. Увага, напруженість аналізаторних функцій, емоційна та інтелектуальна напруженість, монотонність праці.
  3. Обмежені й необмежені послідовності.

 

Визначення. 1) Якщо xn +1 > xn для всіх n, то послідовність зростаюча.

2) Якщо xn +1xn для всіх n, то послідовність неспадна.

3) Якщо xn +1 < xn для всіх n, те послідовність спадна.

4) Якщо xn +1xn для всіх n, те послідовність незростаюча

Всі ці послідовності називаються монотонними. Зростаючі й спадні послідовності називаються строго монотонними.

 

Приклад. { xn } = 1/ n – спадна й обмежена

{ xn } = n – зростаюча й необмежена.

 

Приклад. Довести, що послідовність { xn }= монотонна зростаюча.

 

Знайдемо член послідовності { xn +1}=

Знайдемо знак різниці: { xn }–{ xn +1}=

, тому що , то знаменник додатний при будь-якому n.

Таким чином, xn +1 > xn. Послідовність зростаюча, що й слід було довести.

 

Приклад. З'ясувати чи є зростаючою або спадною послідовність { xn } = .

 

Знайдемо . Знайдемо різницю

, тому що , то 1 – 4 n <0, тобто хn +1 < xn. Послідовність монотонно спадає.

 

Слід зазначити, що монотонні послідовності обмежені принаймні з однієї сторони.

 

Теорема. Монотонна обмежена послідовність має границю.

 

Доведення. Розглянемо монотонну неспадну послідовність

 

 

Ця послідовність обмежена зверху: , де М – деяке число.

Оскільки будь-яка, обмежене згори, числова множина має чітку верхню грань, то для кожного e > 0 існує таке число N, що x > ae, де а – деяка верхня грань множини.

Оскільки { xn } – неспадна послідовність, то при N > n , xn > ae.

Звідси ae < xn < a + e

e < xna < e або ô xna ô< e, тобто .

 

Для інших монотонних послідовностей доведення аналогічно. Теорему доведено.

Число е.

 

Розглянемо послідовність { xn } = .

Якщо послідовність { xn } монотонна й обмежена, то вона має скінченну границю.

За формулою бінома Ньютона:

або, що те ж саме

Покажемо, що послідовність { xn } – зростаюча. Дійсно, запишемо вираз xn +1 і прирівняємо його з виразом xn:

Кожний доданок у виразі xn +1 більше відповідного значення xn, і, крім того, в xn +1 додається ще один позитивний доданок. Таким чином, послідовність { xn } зростаюча.

Доведемо тепер, що при будь-якому n її члени не перевершують трьох: xn < 3.

Отже, послідовність – монотонно зростаюча і обмежена зверху, тобто має скінченну границю. Цю границю прийнято позначати буквою е.

З нерівності треба, щоб . Відкидаючи в рівності для { xn } всі члени, починаючи із четвертого, маємо:

переходячи до границі, одержуємо

Таким чином, число е розміщене між числами 2,5 і 3. Якщо взяти більшу кількість членів послідовності, то можна одержати більш точну оцінку значення числа е.

Можна показати, що число е ірраціональне і його значення дорівнює 2,71828...

Аналогічно можна показати, що , розширивши вимоги до х до будь-якого дійсного числа:

Припустимо:

Знайдемо

Число е є основою натурального логарифма.

Вище представлений графік функції y = ln x.

 

Зв'язок натурального й десяткового логарифмів.

 

Нехай х = 10 у, тоді ln x = ln10 y, отже ln x = y ln10.

, де М = 1/ln10» 0,43429… – модуль переходу.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)