Отыскание частных решений неоднородного линейного ОДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

Неоднородное линейное ОДУ: , где

Уравнение (*) имеет справа неоднородность f (x) специального вида, т.е. типа решений однородного уравнения , где (не разбирали, что такое P), α – постоянное число вещественное или комплексное. Общее решение неоднородного уравнения в этом случае есть сумма общего решения однородного уравнения плюс частное решение неоднородного, которое надо искать в виде , где Q (x) – многочлен той же степени, что и P (x) (если α – НЕ (!!) корень характеристического многочлена).

Абзац из учебника. (не разбирали). Коэффициенты полинома Q(x) определяются подстановкой в (*) и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного равенства. Искомые коэффициенты найдутся и притом единственным образом, так что уравнение (*) имеет только одно частное решение вида .

Если же α совпадает с корнем характеристического многочлена кратности r, то частное решение неоднородного уравнения надо искать в виде , где Q имеет такой же вид, как написано выше. Коэффициенты тоже определяются подстановкой в (*).

Пример.

Найдём решение однородного уравнения:

, ,

,

Общее решение однородного уравнения:

а) Найдём частное неоднородное первое решение, то есть:

б) Найдём частное неоднородное второе решение, то есть:

Ответ: .

Поиск по сайту: