Критерій стійкості

Алгебраїчними критеріями стійкості називають критерії, які визначають необхідні і дос­татні умови стійкості системи будь-якого порядку без вирішення характеристичного рівняння, але з перевіркою певних співвідношень, що складають з його коефіцієнтів. Ці критерії були знайдені і сформульовані у вигляді нерівностей Є. Раусом в 1877 р. і неза­лежно від нього в декілька іншій формі в 1885 р. А. Гурвицем.

Алгебраїчний критерій Рауса дозволяє визначити стійкість замкнутої системи високого порядку (п > 5) за коефіцієнтами характеристичного рівняння (особливо у тих випадках, якщо вони задані чисельно), що зведені до таблиці. При складені таблиці у першу строку записують коефіцієнти з парними індексами а ₀, а ₂, а ₄,..., у другу - з непарними а ₁, а ₃, а ₅ ..., наступні строки отримують шляхом ділення різниць перехресних добутків коефіцієнтів двох попередніх строк на коефіцієнт першого стовпця попередньої стоки.

Для стійкості системи необхідно і достатньо, щоб при а ₀>0 коефіцієнти першого стовп­ця таблиці були позитивні, тобто

(7.3)

Алгебраїчний критерій Гурвиця в аналітичній формі зв’язує умови стійкості системи з її параметрами і дозволяє виділити область стійкості. Критерій базується на обчислені так називаємих визначників Гурвиця за коефіцієнтами характеристичного рівняння.

Необхідною умовою стійкості системи являються позитивні значення всіх коефіцієнтів її характеристичного рівняння, тобто

а ₀ > 0; а ₁ > 0,..., а_n > 0.

Якщо необхідна умова не виконується, то система нестійка.

В найпростіших випадках (характеристичне рівняння першого і другого порядку) ця необхідна умова являється одночасно і достатньою. При n ³ 3 (n - порядок системи) при дотриманні необхідної умови система може бути стійкою і нестійкою.

Необхідною і достатньою умовою стійкості системи при додатних значеннях всіх коефіцієнтів характеристичного рівняння являються додатні значення всіх визначників, що складаються з коефіцієнтів характеристичного рівняння по схемі:

1) по головній діагоналі зліва вниз направо виписуються всі коефіцієнти рівняння, по­чи­наючи з коефіцієнта при другому члені (а ₁) і закінчуючи коефіцієнтом передостаннього члена (а_{п -1}) включно;

2) стовпчики при діагоналі вверх доповнюються коефіцієнтами з індексами, що спа­да­ють, а стовпчики при діагоналі вниз - коефіцієнтами з індексами, що підвищуються. Всі місця, які треба було заповнити коефіцієнтами нижче а_n і вище а ₀, замінюються нулями

а ₁ а ₃ а ₅ а ₇.... 0 0 0 0

а ₀ а ₂ а ₄ а ₆.... 0 0 0 0

0 а ₁ а ₃ а ₅.... 0 0 0 0

0 а ₀ а ₂ а ₄.... 0 0 0 0

D _n = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - > 0 (7.4)

0 0 0 0 а_{п -4} а_{п -2} а_п 0

0 0 0 0 а_{п -5} а_{п -3} а_{п -1} 0

0 0 0 0 а_{п -6} а_{п -4} а_{п -2} а_п

0 0 0 0 а_{п -7} а_{п -5} а_{п -3} а_{п -1}

.

На практиці після перевірки знака всіх коефіцієнтів характеристичного рівняння скла­дають визначники, починаючи з меншого, тобто D₁ > 0, D₂ > 0, D₃ > 0 та інші. Якщо ви­явить­ся, що якийсь з визначників менше нуля, то продовжувати розрахунки наступних ви­значників не має сенсу, оскільки їх значен­ня будуть від’ємними.

Визначники обчислюють за формулами:

а ₁ а ₃ а ₁ а ₃ а ₅

D₁ = а ₁; D₂ = а ₀ а ₂ = а ₁ а ₂ - а ₀ а ₃; D₃ = а ₀ а ₂ а ₄ =

0 а ₁ а ₃

= [ а ₃(а ₁ а ₂ - а ₀ а ₃) - а ₁² а ₄]

ПРИКЛАДИ. 1. Перевірити за критерієм Рауса-Гурвиця стійкість АСР, характерис­тич­не рівняння якої має вигляд: р ³ + 6 р ² + 1 = 0

Необхідна умова не виконується: коефіцієнт при р дорівнює нулю. Виходячи з цього сис­тема нестійка.

2. Перевірити по критерію Рауса-Гурвиця стійкість АСР, характеристичне рів­няння якої має вигляд: р ³ + 2,5 р ² + 3 р + 2 = 0

Необхідна умова виконується: всі коефіцієнти додатні.

а ₁ а ₃

D₂ = а ₀ а ₂ = а ₁ а ₂ - а ₀ а ₃ = 2,5×3 - 1×2 = 5,5 > 0

Отже, система стійка.

3. Перевірити за критерієм Рауса-Гурвиця стійкість АСР, характеристичне рів­няння якої має вигляд: р ⁴ + р ³ + 4 р ² + 3 р + 2 = 0

Необхідна умова виконується: всі коефіцієнти додатні.

а ₁ а ₃

D₂ = а ₀ а ₂ = а ₁ а ₂ - а ₀ а ₃ = 1× 4 – 1×3 = 1 > 0;

а ₁ а ₃ а ₅

D₃ = а ₀ а ₂ а ₄ = [ а ₃(а ₁ а ₂ - а ₀ а ₃) - а ₁² а ₄] = 3×1 - 1×2 = 1 > 0

0 а ₁ а ₃

Отже, система стійка.

Частотними критеріями стійкості називаються критерії стійкості, що базуються на побудові частотних характеристик і так званого годографа Михайлова.

Критерій Михайлова базується на зв’язку між характером перехідного процесу, що ви­ни­кає при порушенні рівноваги системи й амплітудою і фазою вимушених коливань (амп­літудно-частотна характеристика (АЧХ)), які встановлюються в системі під дією синусо­їдального збуджуючого діяння.

Якщо в поліномі характеристичного рівняння системи замінити величину р уявним аргументом j w, то отримаємо деяку функцію

W (j w) = а ₀(j w) ^п + а ₁(j w)^n-1 +...+ а_{п- 1}(j w) + а_п = Re (w) + jQ (w), (7.5)

де Re (w) = а_п - а_{п- 2}w² + а_{п- 4}w⁴ -..., Q (w) = а_{п- 1}w - а_{п- 3}w³ + а_{п- 5}w⁵ -...

Якщо змінювати величину w від - ¥ до + ¥, то кінець вектора А (j w) опише в комплекс­ній площині криву, яку називають годографом Михайлова.

А.В. Михайлов доказав, що вектор повертається на кут + np, якщо система стійка, і на кут менше + np,якщо система нестійка (n - порядок характеристичного рівняння).

Оскільки дійсна частина Re (w) є парною, а уявна частина Q (w) - непарною функцією, то годограф Михайлова симетричний відносно дійсної осі. Через це в практичних дослід­женнях розглядають зміни w або від - ¥ до 0, або від 0 до + ¥.

Для того щоб автоматична система регулювання була стійкою, необхідно і достатньо, щоб годограф Михайлова, починаючись в точці, що лежить на додатній частині дійсної осі, при зміні частоти w від 0 до + ¥ послідовно обходив проти годинникової стрілки п квад­ран­тів, повертаючись на кут n (p /2), і ніде не попадав у початок координат (не перетво­рюючись на нуль).

а б

Рисунок 7.3. Аналіз стійкості систем за критерієм Михайлова:

а - стійкі системи відповідно при п = 1; п = 2; п = 3; п = 4; б - порівняння стійких і нестійких систем 5 - стійка система при п = 3; 6 - нестійка система.

Кожному перетину годографом дійсної осі відповідає корінь рівняння Re (w) = 0, а кож­ному перетину уявної осі - корінь рівняння Q (w) = 0.

Якщо побудувати графіки функцій Re (w) і Q (w), то точки перетину цих графіків з віссями при зростанні w в стійкій системі повинні чергуватись. При w = 0 годограф перетворюється в точку, яка розміщена в додатній частині дійсної осі.

ПРИКЛАДИ. 4. Побудувати годограф Михайлова і визначити стійкість автоматичної си­с­теми регулювання, якщо характеристичне рівняння системи має вигляд: р ³ + р ² + р + 2 = 0

Замінивши р = j w, отримаємо (j w)³ + (j w)² + (j w) + 2 = 0

Re (w) = 2 - w²; Q (w) = w(1 - w²)

При w = 0 отримаємо Re (w) = 2; Q (w) = 0

Значення w₁, при якому годограф перетинає уявну вісь, визначимо із умови

Re (w₁) = 0; тобто 2 - w² = 0; w₁ = .

Знайдемо точку перетину з уявною віссю

Q (w₁) = (1 - 2) = - (тобто четвертий квадрант) (рис. 7.4).

Наступні значення годографа шукати вже не має сен­су, так як видно, що критерій Ми­хайлова в частині послі­довного перетину квадрантів не дотримується.

Значення w₂, при якому годограф перетинає дійсну вісь між першим і четвертим квадрантом, знайдемо, із умови: Q (w₂) = 0; тобто w₂ (1 - w₂²) = 0; w₂ =1

Re (w₂) = 2 - w₂² = 2 - 1 = 1

Отже, система нестійка.

5. Побудувати годограф Михайлова і ви­значити стій­кість автоматичної системи регулювання, якщо характери­с­тичне рівняння системи має вигляд: р³ + р² + р + 0,5 = 0. Замінивши р = j w, отримаємо (j w)³ + (j w)² + (j w) + 0,5 = 0

Re (w) = 0,5 - w²; Q (w) = w(1 - w²)

При w = 0 отримаємо Re (w) = 0,5; Q (w) = 0

Значення w₁, при якому годограф перетинає уявну вісь, визначимо із умови

Re (w₁) = 0; тобто 0,5 - w² = 0; w₁ =

Знайдемо точку перетину з уявною віссю

Q (w₁) = (1 - 0,5) = 0,35

Значення w₂, при якому годограф перетинає дійсну вісь,

Q (w₂) = 0, тобто 1 - w² = 0. Тоді w₂ = 1

Re (w₂) = 0,5 - w₂² = 0,5 - 1 = - 0,5

В інтервалі 0 < w < значення Re (w) і Q (w) більше нуля (перший квадрант), при < w < 1 значення Re (w) менше нуля, а Q (w) більше нуля (другий квадрант). При значенні w ® ¥ зрозуміло, що Re (w)® - ¥ і Q (w)® - ¥ (третій квадрант). Система стійка (рис. 7.5).

Критерій стійкості Найквіста. Американський вчений в 1932 р. стосовно до елект­ронних під­си­лювачів з від’ємним зворотним зв’язком сформулював правила, що дозво­ляють за виглядом АЧХ розімкнутої системи зробити висновок про стійкість замкнутих систем. Сенс цього полягає в тому, що порядок характеристичного рівняння розімкнутої системи завжди нижчий за порядок замкнутої системи. Узагальнення цього критерію для рішення задач автоматичного регулювання було виконано А.В. Михайловим.

Передаточна функція деякої розімкнутої системи при заміні р на j w перетворюється в вираз для амплітудно-фазової характеристики

W (j w) = Q (jw) / Р _p(j w) (7.6)

де Р _p - характеристичне рівняння розімкнутої системи.

Припустимо, що розімкнута система стійка, отже, згідно теореми Ляпунова, всі корені характеристичного рівняння знаходяться в лівій напівплощині, а нульових і уявних коренів немає.

Побудуємо для цієї системи на комплексній площині годограф Михайлова, крива Р _p(jw) (рис. 7.6). Для замкнутої системи

(7.7)

де Р (j w) = Р _p(j w) + Q (j w), звідки Q (j w) = Р (j w) - Р _p(j w).

Характеристичне рівняння замкнутої системи визна­ча­ється величиною Р (j w). Стійка в розімкнутому стані сис­тема може виявитись нестійкою в замкнутому стані. При­пустимо, що система, яку ми розглядаємо знаходиться на межі стійкості і годограф Михайлова Р (j w) проходить че­рез початок координат при деякій частоті w _k. Отже, в цій системі існують незатухаючі коливання з частотою w _k.

Так як вектор Q (j w) можна визначити, як різницю век­торів Р (j w) і Р _p(j w), знайдемо вектор ВС, який є полі­но­мом Q (j w_к), тобто чисельником АФХ розімкнутої системи (точ­ки В і С відповідають час­тоті w _k).

Знайдемо на годографі Р _p(j w) точку А, що відповідає частоті w _k, при якій годограф Р (j w) замкнутої системи проходить через початок координат, тобто Р (j w) = 0. Тоді Q (j w) = - Р _p(j w_k). Виходячи з цього АФХ розімкнутої системи, для якої вказані вектори являються знаменником і чисельником, перетворюються в одиницю зі знаком мінус при частоті w _k.

Звідси можемо зробити висновок про те, що якщо система в замкнутому стані знахо­диться на межі стійкості, то АФХ розімкнутої системи проходить через точку з коорди­на­тами (-1; j 0) на дійсній вісі.

Якщо система в замкнутому стані нестійка Р (j w) > 0, Q (j w _k) > Р _p(j w_k) і W (j w)>1.

На основі викладеного критерій стійкості Найквіста можна сформулювати наступним чином: якщо розімкнута система стійка, то для стійкості цієї системи в замкнутому стані необхідно і достатньо, щоб амплітудно-фазова характеристика розімкнутої системи не охоп­лювала точку на дійсній осі з координатами (-1; j 0).

Якщо розімкнута система нестійка і характеристичне рівняння має k коренів в правій півплощині (додатних), то для стійкості цієї системи в замкнутому стані необхідно і дос­татньо, щоб АФХ розімкнутої системи, що описується кінцем вектором 1 + W (j w), при збіль­шенні частоти від 0 до ¥ обходила критичну точку (-1; j 0) проти годинникової стрілки (в по­зитивному напрямку) k /2 разів. Так система рис. 7.7 буде стійка при k = 2.

Або в формулюванні Я.З. Ципкіна: якщо розімк­ну­та система нестійка і її характеристичне рівняння має k коренів в правій півплощині, то для стійкості системи в замкнутому стані необхідно і достатньо, щоб число по­зитивних переходів (зверху вниз) було більше числа від’ємних переходів АФХ розім­кнутої системи через відрізок дійсної вісі (-1; -¥) на k /2 раз при підвищенні частоти від 0 до ¥. Початок АФХ в згаданому діапазо­ні рахується за половину пере­ходу.

ПрикладИ. 6. Визначити стійкість замкнутої ав­томатичної системи регулювання, розімкнута частина якої описується ха­рак­теристичним рівнян­ням: р ³ + 2 р ² + 3 р + 2 = 0.

Замінивши р = j w, отримаємо (j w)³ + 2(j w)² + 3(j w) + 2 = 0. Звідси Re (w) = 2 - 2w²; Q (w) = w(3 - w²).

Тоді при w = 0 значення Re (w) = 2; Q (w) = 0

Значення w₁, при якому годограф перетинає уявну вісь, визначимо із умови

Re (w₁) = 0; тобто 2 - 2w² = 0; w₁ = 1.

Знайдемо точку перетину з уявною віссю

Q (w₁) = 1(3 - 1) = 2

Значення w₂, при якому годограф перетинає дійсну вісь

Q (w₂) = 0, тобто 3 - w² = 0. Тоді w₂ =

Re (w₂) = 2 - 2w₂² = 2 - 6 = - 4

В інтервалі 0 < w < 1 значення Re (w) і Q (w) більше нуля (перший квадрант), при 1 < w < значення Re (w) менше нуля, а Q (w) більше нуля (другий квад­рант). При значенні w ® ¥ зрозуміло, що Re (w)® - ¥ і Q (w)® - ¥ (третій квадрант). Розімкнута система стійка (рис. 7.6). Замкнута система нестійка, бо охоп­лює точку з коор­ди­натами (-1; j 0).

7. Визначити стійкість замкнутої автоматичної системи регулювання, що представлена на рис. 7.9.

Характеристичне рівняння розімкнутої системи (р - 1) = 0 має один корінь в правій півплощині (k =1), тобто розімкнута система нестійка.

Побудуємо АФХ замкнутої системи.

W _p(р) = 2,2/(р - 1); W (j w) = Re (w) + + jQ (w) = 2,2/(j w - 1).

, .

При w = 0: Re (w) = - 2,2; Q (w) = 0. При w > 0 Re (w) < 0 і Q (w) < 0 (третій квадрант). При w ® ¥ Re (w) ® 0; Q (w) ® 0. АФХ розімкнутої системи почи­нається на відрізку (-1; -¥) дійсної вісі (початкову точ­­ку у цьому випадку приймають за половину пере­хо­ду) і охоплює критич­ну точку (-1; j 0) в позитив­ному на­пря­м­ку при підвищенні w від 0 до ¥ 1/2 разів (рис. 7.10). Так як розімкнута система має один додат­ний корінь замкнута система стійка.

Поиск по сайту: