Сущность метода итераций для решения уравнений

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Ухтинский государственный технический университет

Методические указания

К расчетной работе №1 по дисциплине

«НИРС»

Ухта 2012

Сущность метода итераций для решения уравнений

Одним из наиболее важных способов численного решения уравнений является метод итерации. Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть дано уравнение:

f(x) = 0 (1)

где f(x) – непрерывная функция, и требуется определить его вещественные корни.

При этом не является возможным представить уравнение (1) в следующем виде:

(2)

Или нельзя выразить x в явном виде, т.е. в виде x=C, где С – некоторая константа.

Заменим уравнение (1) равносильным уравнением:

x = φ(x) (3)

Выберем каким-либо способом грубо приближенное значение корня x₀ и подставим его в правую часть уравнения (3). Тогда получим некоторое число:

x₁ = φ(x₀) (4)

Подставляя теперь в правую часть равенства (4) вместо x₀ число x₁ получим новое число x₂= φ(x₁) и т.д. Повторять этот процесс будем до выполнения следующего условия:

(5)

где ε – требуемая точность решения (ε ≈ 0÷3%).

При выполнении условия (5) число x_n+1 будет являться корнем уравнения (1).

Пример. Необходимо решить следующее уравнение:

(6)

Явно выразить x из уравнения (5) или представить его в виде (2) невозможно, поэтому решим его методом итераций. Заменим уравнение (5) равносильным уравнением:

(7)

В таблице 1 приведена последовательность действий.

Таблица 1 – Результаты вычислений методом итераций

По данным таблицы 1 видно, что при девятой итерации погрешность ε составит 0,15%, значение функции f(x) при этом будет равняться -0,0016. На основании этого делаем вывод, что x=0,3565 является корнем уравнения.

Поиск по сайту: