Интерполяция

Интерполяцией называется приближенное вычисление значений функции по нескольким данным ее значениям. Интерполяция широко используется в картографии, геологии, экономике и других науках. Самым простым вариантом интерполяции является форма Лагранжа, но когда узловых точек много и интервалы между ними велики, либо требуется получить функцию, кривизна которой минимальна то прибегают к сплайн-интерполяции, дающей бóльшую точность.

Пусть K_n - система узловых точек a = x₀ < x₁ <…< x_n = b. Функция S_k(x) называется сплайн-функцией S_k(x) степени k≥0 на K_n, если

а) S_k(x) є C^k-1([a, b])

б) S_k(x) - многочлен степени не большей k

Сплайн-функция Ŝ_k(x) є S_k(K_n) называется интерполирующей сплайн-функцией, если Ŝ_k(x_j) = f(x_j) для j = 0,1,…,n

В приложениях часто бывает достаточно выбрать k=3 и применить т. н. кубическую интерполяцию.

Т. к. s(x) на каждом частичном интервале есть многочлен третьей степени, то для x є [x_j-1,x_j]

Здесь s²_j, c_j1, c_j0 неизвестны для j = 1, 2, …, n

Последние исключаются в силу требования s(x_j) = y_j:

Дифференцируя эту функцию и учитывая, что s'(x) на всем интервале и, следовательно, в частности, в узлах должна быть непрерывна, окончательно получаем систему уравнений:

относительно n+1 неизвестных s²₀, s²₁,…, s²_n. Для однозначного их определения в зависимости от задачи добавляются еще два уравнения:

Нормальный случай(N):

Периодический случай(P) (т. е. f(x+(x_n-x₀))=f(x)):

Заданное сглаживание на границах:

Пример: сплайн-интерполяция функции f(x)=sin x, n=4.

Функция периодическая, поэтому используем случай P.

Сплайн-функция получается такая:

Поиск по сайту: