Определение числа точек в элементарной ячейке. Период решётки

Соотношение между числом точек в решетке и числом ячеек, иначе говоря число точек, которое приходится на одну ячейку, можно найти по способу, сущность которого мы рассмотрим на примере плоской решётки (рис. 4.2).

Допустим, что точки решётки размещены в углах параллелограммов (рис. 4.2).

Сколько точек приходится на одну ячейку решётки?

Чтобы ответить на этот вопрос, достаточно, оставив точки неподвижными, сдвинуть решётку, состоящую из параллелограммов на малое расстояние в направлении диагонали параллелограмма .

Как видим, в каждой ячейке оказалось по одной точке.

Аналогично для определения числа точек в одной ячейке пространственной решётки достаточно, оставив точки на месте, сдвинуть решётку из параллелепипедов в направлении пространственной диагонали параллелепипеда повторяемости на такое расстояние, чтобы ни одной точки не осталось на его поверхности, и сосчитать число точек, которые оказались внутри него.

Применим этот способ к решётке, элементарная ячейка которой выбрана в виде объёмноцентрированного куба (рис. 4.3).

Оставив точки решётки неподвижными и передвинув решётку из кубов в направлении диагонали, которая соединяет точки 1 и 7 на такое расстояние, чтобы ни одной точки не осталось на поверхности куба, найдём, что внутри куба попадут 2 точки, в данном случае 7-я и 9-я.

Таким же способом найдём, что на одну ячейку, имеющую вид гранецентрированного куба, приходится 4 точки решётки.

По числу точек в ячейке решётки делятся на примитивные и сложные.

Решётка называется примитивной, если на одну ячейку приходится одна точка.

Решётка называется сложной, если на одну ячейку решётки приходится несколько точек.

Сложную решётку можно представить в виде нескольких прос­тых, вдвинутых одна в другую. Например, размещение частиц на рис. 4.4 можно описать или с помощью сложной решетки, когда, параллелограмм повторяемости есть квадрат, в вершинах которого лежат светлые кружочки, а в центре черные, или с помощью двух
простых, вузлах одной из которых лежат светлые кружочки, а в узлах другой черные. Элементарные ячейки первой из них показаны целыми линиями, а второй - пунктирными.

Теперь надо ответить на вопросы: чем определяется выбор формы
и размеров элементарной ячейки?

Форма элементарной ячейки определяется из условия, чтобы сим­метрия ячейки была не ниже симметрии кристаллической структуры, а размер ячейки выбирается наименьшим из тех, при которых это условие удовлетворяется. Поясним это примером. Рассмотрим размещение частиц на плоскости, показанное на рис. 4.5. Если выбрать ячейку не в виде квадрата ABCD,а в виде косого параллелограмма KLMN, то симметрия ячейки была быниже симметрии размещения частиц. Достаточно указать, что у косых параллелограммов нет оси симметрии четвертого порядка, которую имеет размещение частиц на рисунке. Симметрия квадратов со сторонами вдвое, втрое и т. д. больше, чем у ABCD,такая же, но в качестве элементарной ячейки выбирается квадрат ABCD как наименьший.

Условием соответствия между симметрией элементарной ячейки и симметрией кристаллической структуры объясняется также, почему пользуются сложными решетками, а не примитивными в тех случаях, когда можно было бы воспользоваться примитивной решеткой. На­пример, если бы для размещения одинаковых частиц, которое описывается с помощью гранецентрированной кубической решетки, выбрать в качестве элементарной ячейки наклонный параллелепипед, показанный на рис. 4.4 (что соответствует примитивной решетке), то симметрия этих параллелепипедов была бы ниже симметрии кристаллической структуры.

Поиск по сайту: