Определение производной функции. Геометрический смысл производной функции в точке

Геометрический смысл производной функции в точке

Рассмотрим функцию с областью определения .

Определение 2.1. Пусть точка . Дадим точке допустимое приращение аргумента так, чтобы точка . Разность

(2.1)

между значением функции в точке и значением функции в точке назовем приращением функции в точке .

Пример 2.1. Для функции найти приращение .

Решение. Согласно формуле (2.1), имеем

.

Итак, .

Определение 2.2. Пусть точка . Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, то этот предел называется производной функции в точке и обозначается

(2.2)

(читается “эф штрих от x ”).

Для обозначения производной в точке x применяются также следующие обозначения: , , , .

Пример 2.2. Для функции найти производную .

Решение. Согласно результату примера 2.1, имеем (выносим общий множитель за скобки)

Тогда, применяя формулу (2.2), получим

Итак, .

Рассмотрим геометрический смысл производной функции в точке. Пусть функция в точке имеет производную

.

Обозначим . Тогда получим . При этом формула вычисления производной функции в точке примет вид

.

А согласно формуле (1.2) имеем

.

Получаем следующий геометрический смысл производной функции в точке: производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции, проведенной через точку с абсциссой .

Таким образом, для функции из примера 1.1, производная в точке равна .

Поиск по сайту: