Лекция 3. Таблица производных основных элементарных функций

Таблица производных основных элементарных функций.

Примеры вычисления производных функций

При решении задач, в которых необходимо найти производную функции (то есть продифференцировать ее), встречаются простейшие – так называемые основные элементарные функции. В подобных случаях необходимо применять таблицу производных основных элементарных функций.

Таблица производных основных элементарных функций

№	Производная	№	Производная
			()
	(, , )

Формулы 1 – 6 – это производные от степенных функций (формула 4 основная из них, остальные – следствия из нее), формулы 7, 8 – производные от показательных функций, формулы 9, 10 – производные от логарифмических функций, формулы 11 – 14 – производные от тригонометрических функций, формулы 15 – 18 – производные от обратных тригонометрических функций.

Докажем некоторые табличные производные, пользуясь определением производной.

Табличные производные 2, 3, 5, 6 – это непосредственные следствия формулы 4. Так, например, для () имеем

.

Докажем табличную производную 7. Пусть . Тогда приращение .

Согласно эквивалентности при , находим производную

.

Табличная производная 8 является прямым следствием формулы 7.

Докажем табличную производную 9. Пусть . Приращение

.

Согласно эквивалентности при , находим производную

.

Табличная производная 10 является прямым следствием формулы 9.

Докажем производную 11. Для функции приращение имеет вид (применяем формулу разности синусов)

Используя эквивалентность при , получим

.

Пусть . Для доказательства табличной производной 13 воспользуемся правилом дифференцирования – формулой (4.3) (дифференцирования частного), где , . Тогда учитывая, что , , получим

.

Покажем на примерах применение правил дифференцирования и табличных производных.

Пример 1. Найти для функции производную :

.

Решение. Применяя формулу (4.1) дифференцирования суммы, разности и правило (4.4) вынесения константы за знак производной, получаем

.

Ответ: .

Пример 2. Найти для функции производную :

.

Решение. Для данной функции необходимо сначала использовать производную разности (формула (4.1)), а затем производную произведения (формула (4.2), где , ):

.

Ответ: .

Пример 3. Найти для функции производную :

Решение. Используем производную частного (формула (4.4), где , ), а затем производную суммы и разности:

.

Упростим найденную производную. Раскрывая скобки, получим

.

Ответ: .

Поиск по сайту: