Задачи. Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой пространственной области Т

Глава XIV

Тройной интеграл

Основные понятия.

Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой пространственной области Т. Разобьем область Т произвольным образом на n элементарных областей с диаметрами и объемами . В каждой элементарной области возьмем произвольную точку , умножим значение функции в точке на объем этой области и все произведения сложим. Предел полученной интегральной суммы при стремлении к нулю наибольшего из диаметров всех элементарных областей называется тройным интегралом:

.

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению одного однократного и одного двойного интегралов или к вычислению трех однократных интегралов. Если, например, область интегрирования Т определяется неравенствами: , , , где – непрерывные функции, тогда тройной интеграл вычисляется по формуле

.

Пример.

Вычислить интеграл , где область Т определяется неравенствами: , , .

Решение.

Задачи.

Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле для указанных областей Т:

14.1. Область Т – тетраэдр, ограниченный плоскостями .

14.2. Область Т – внутренность эллипсоида .

14.3. Область Т ограничена поверхностями .

14.4. Область Т ограничена поверхностями .

Вычислить интегралы:

14.5. , где область Т ограничена плоскостями

14.6. , где Т – прямоугольный параллелепипед, определенный неравенствами: .

14.7. , где область Т – призма, ограниченная плоскостями , .

14.8. ;

14.9. ;

14.10. , где область Т – тетраэдр, ограниченный плоскостями .

1411. , где область Т ограничена поверхностями .

Поиск по сайту: