ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА

В подразделе 8.5 дан вывод дифференциального уравнения теплопроводности в неподвижной среде, аналогичным образом можно вывести дифференциальное уравнение в движу­щейся среде, называемое уравнением энергии, которое в декар­товых координатах имеет вид

или в более краткой записи:

где τ — время, с; V_x, V_y, V_z — проекции вектора скорости на оси х, у, z, м/с; а — температуропроворности, м²/с;

полная производная температура по времени т, которую в связи с тем, что она связана с движущейся материей или субстанцией, называют субстанциаль­ной производной и обозначают особым символом Dt/dτ;

— оператор Лапласа.

Уравнение (10.3) описывает изменение температуры в точке х, у, z в неподвижной системе координат, при этом первый член левой части уравнения характеризует изменение температуры во времени, последующие члены левой части — изменение темпера­туры вследствие движения жидкости через рассматриваемую точку пространства; правая часть уравнения выражает измене­ние температуры вследствие теплопроводности.

При v_x = v_y = v_z = 0 уравнение энергии переходит в дифферен­циальное уравнение теплопроводности (8.12).

Для интегрирования уравнения (10.3) и расчета по нему температурного поля необходимо знать компоненты скорости v_x, v_y, v_z. Это приводит в общем случае к необходимости дополни­тельного рассмотрения уравнений движения (уравнений Навье — Стокса) и уравнения неразрывности потока.

Уравнения движения для несжимаемой жидкости (р = const) в проекциях на оси декартовых координат имеют вид:

где р — плотность жидкости, кг/м³; g_x, g_y, g_z — проекции ускорения поля внешних массовых сил на оси х, у. z. м/с²; р — давление. Па; р,—динамиче­ская вязкость, Па-с; β— коэффициент объемного расширения, 1/К; t_x — тем­пература среды (температура жидкости в ядре потока);

—— субстанциальная производная;

- оператор Лапласа.

С физической точки зрения уравнения (10.5) выражают ра­венство проекций равнодействующей всех сил, действующих на элемент объема жидкости (правые части уравнений), проекци­ям сил инерции (левые части уравнений). При этом первые сла­гаемые правых частей системы уравнений (10.5) выражают про­екции подъемной силы, вторые слагаемые — проекции сил дав­ления, третьи слагаемые — проекции сил внутреннего трения.

Уравнение неразрывности для несжимаемых жидкостей за­писывается в виде

Интегрирование системы уравнений (10.3), (10,5), (10.6) позволяет получить неизвестные функции t(x, у, z, τ), v{x, у, z, τ), р (x,y,z,τ). Для получения конкретного (частного) реше­ния указанную систему уравнений необходимо дополнить усло­виями однозначности, которые, как и в случае интегрирования дифференциального уравнения теплопроводности (8.12), вклю­чают в себя геометрические, физические, начальные и гранич­ные условия.

Поиск по сайту: