Указания к выполнению. 1. Структурную схему ЦСП, содержащей кодер и декодер корректирующего кода, их назначение, принцип построения блочного корректирующего кода и общий принцип

1. Структурную схему ЦСП, содержащей кодер и декодер корректирующего кода, их назначение, принцип построения блочного корректирующего кода и общий принцип исправления ошибок декодером описано в [3, разд. 1...3].

2. Для определения кратности исправляемых ошибок q _и рекомендуется использовать нижнюю границу Хемминга для числа дополнительных символов n – k (верхнюю границу Хемминга для скорости кода R _код = k / n) [3, разд. 6.1]:

2 ^{n – k} – 1 ³ . (2)

Правило вычисления числа сочетаний из n по q:

. (3)

Если q _и = 1, то сумма в (2) переходит в , и неравенство-равенство (2) перепишется

. (4)

Если q _и = 2, то сумма в (2) переходит в , и неравенство-равенство (2) перепишется

. (5)

Используя формулы (4) и (5), определить для какого q _и выполняется неравенство-равенство, принять большее из этих значений q _и для дальнейших расчетов.

3. Вероятность ошибкибита р на выходе демодулятора зависит от метода модуляции и отношения сигнал/шум – отношения средней энергии модулированного сигнала, затрачиваемой на передачу одного бита, к удельной мощности шума = E _б/ N ₀. Необходимые формулы для вероятности ошибки бита можно найти в разд. 12 [2].

В этих формулах – гауссовская Q -функция (одна из форм интеграла вероятности). Расчеты вероятности ошибки можно выполнить в математических пакетах MathCAD и MatLab, используя внутреннюю функцию ошибок erf:

. (6)

Можно также использовать аппроксимацию гауссовской Q -функции

Q (z) = 0,65 exp(–0,44 (z + 0,75)²). (7)

При построении графиков р = f () масштаб для р должен быть логарифмическим, а для значений , выраженных в децибелах ( [дБ] = 10 lg ), – линейным. Примеры таких зависимостей приведены в [2, рис. 12.6]. Значения необходимо брать с шагом 1 дБ такие, чтобы получить значения р от 10^–3 до значения, которое меньше р _доп. Значение [дБ], которое взято для расчета р, необходимо представить в разах и это значение подставлять в формулу для вероятности ошибки р. Кроме графика р = f ₁() привести таблицу расчетных значений, содержащую [дБ], и р.

Необходимое отношение сигнал-шум на входе демодуляторов сигналов , при котором обеспечивается заданная допустимая вероятности ошибки бита на выходе демодулятора р _доп, определяется из графика р = f ₁().

Расчет для ЦСП с кодированием начинают из определения вероятности ошибочного декодирования кодовой комбинации, которая определяется формулой:

, (8)

где Р (q) = p^q (1 – p) ^{n – q} – (9)

вероятность ошибки кратности q;

р – вероятность ошибки двоичного символа на входе декодера (выходе демодулятора).

Вероятность ошибки символа на выходе демодулятора (входе декодера) для заданного метода модуляции определяется формулой для вероятности ошибки, использованной выше. Но следует учесть, что при использовании корректирующего кода уменьшается энергия сигнала, затрачиваемого на передачу одного двоичного символа в n / k раз. Поэтому в формулы для вероятности ошибки необходимо вместо h _б подставлять .

При расчетах вероятности ошибочного декодирования нужно учесть следующие особенности:

– поскольку р << 1, то в формуле (7) можно принять 1 – р = 1; тогда

; (10)

– поскольку с увеличением q на единицу в формуле (9) значение p^q уменьшается в 1/ р раз, можно считать, что Р (q + 1) << Р (q) и в формуле (9) достаточно использовать для расчетов лишь первое слагаемое. С учетом этого

. (11)

Для перехода от вероятности Р _од к вероятности ошибки двоичного символа на выходе декодера р _д необходимо учесть принцип исправления ошибок декодером: декодер запрещенную кодовую комбинацию заменяет ближайшей разрешенной. Поэтому, если число ошибок в комбинации q > q _и, но q £ d _min, то в результате декодирования комбинация будет содержать d _min ошибок (d _min – кодовое расстояние). Поскольку ошибки более высокой кратности маловероятные, то окончательно можно считать, что в декодированной комбинации имеется d _min ошибочных символов. У корректирующих кодов кодовое расстояние d _min = 2 q _и + 1. Поскольку при ошибочном декодировании кодовой комбинации 2 q _и + 1 символов из n ошибочные, то переход от Р _од к р _д выполняется по формуле

р _д = Р _од (2 q _и + 1) / n. (12)

Таким образом, чтобы получить одну точку зависимости р _д = f ₂() необходимо выполнить следующее:

– задаться значением [дБ], которое на 2 дБ меньше ;

– это значение [дБ] необходимо представить в разах;

– взять формулу для вероятности ошибкибита р на выходе демодулятора для заданного метода модуляции, в которую вместо h _б подставить , рассчитать значение р;

– рассчитать вероятность ошибочного декодирования Р _од по формуле (11);

– рассчитать вероятность ошибки бита на выходе декодера р _д по формуле (12).

Используя р _д и [дБ], нанести точку рассчитываемого графика р _д = f ₂(). Далее следует взять 3-4 значения , которые с шагом 1 дБ меньше или больше значения, использованного при расчете первой точки, так, чтобы получить точки графика р _д = f ₂(), охватывающие значение р _доп. Провести расчеты р _д. Нанести точки графика р _д = f ₂(). Кроме графиков привести таблицу расчетных значений, содержащую [дБ], , р, Р _од и р _д.

4. Сведения об энергетическом выигрыше от использования кодирования (ЭВК) изложено в [3, разд. 8]. По графику р _д = f ₂() определить значение [дБ], при котором р _д = р _доп. Образец оформления графиков приведен на рис. 8.1 [3]. Определить полученный ЭВК:

ЭВК = – . (13)

5. Ширина спектра сигнала на выходе модулятора D F ₂ при использовании заданного кода определяют формулой

, (14)

где R _код – скорость кода; a – коэффициент ската спектра.

Ширину спектра сигнала на выходе модулятора D F ₁ без использования кода определяют по формуле (12), положив R _код = 1.

6. Указать и сравнить между собой параметры ЦСП для двух методов передачи по следующим параметрам:

– необходимые отношения сигнал/шум на входах демодуляторов ;

– необходимые полосы пропускания каналов связи F _к.

Объяснить, почему эти параметры отличаются. Сделать выводы относительно «обмена» этих параметров.

Поиск по сайту: