ГЛАВА 6. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ

Задача 1.

Для примера, исследуем выборку из 20 предприятий по величине производительности труда (всех предприятий -100). Предприятий с низким уровнем производительности оказалось 2. С вероятностью 0,683 необходимо найти пределы, в которых можно ожидать долю предприятий со средним и высоким уровнем производительности. Выборка случайная, бесповторная. Имеются данные:

n =20 (шт.)

N =100 (шт.)

m =20-2=18 (шт.)

t =1

P(t) =0,683

w =18/20=0,9

Определим среднюю ошибку выборки:

или 2,7%

Рассчитаем предельную ошибку:

Определим пределы, в которых можно ожидать долю предприятий с высоким и средним уровнем производительности:

С вероятностью 0,683, т.е. в 683 случаях из 1000, можно утверждать, что средний процент предприятий с высоким и средним уровнем производительности будет находиться в пределах от 87 до 93%.

Рассчитаем относительную ошибку:

= 3,63/21,51=0,169 или 16,9%,

= 0,03/0,9=0,033 или 3,3%

Следовательно, как для оценки средних показателей, так и для оценки доли, выборка репрезентативна.

Задача 2

Из партии деталей взята 20%-ная случайная беспов­торная выборка для определения среднего веса детали. Результаты выборки следующие:

Определить с вероятностью 0,954 доверительные пределы, в которых лежит средний вес детали для всей партии.

Решение.

Доверительные интервалы для генеральной средней с вероятностью Р:

,

где — средний уровень признака по выборке:

г.

Определим численность генеральной совокупности:

.

Дисперсия выборки равна:

Предельная ошибка равна:

г.

При вероятности Р = 0,954 t = 2. Доверительные интервалы для генеральной средней с вероят­ностью Р = 0,954 следующие:

;

;

На основе проведенной выборки сделаем вывод: установлен средний вес детали с возможным отклонением в ту или иную сторону не более, чем на 0,66 г, или в пределах от 83,34 до84,66 г, что можно утверждать с вероятностью 0,954, т.е. в 954 случаях из 1000.

Задача 3

Рассмотрим 20 из 100 единиц совокупности. Таким образом, мы имеем дело с выборкой. Исходя из предыдущих расчетов для ряда производительности труда, при условии, что отбор случайный, бесповторный, а вероятность равна 0,954, имеются следующие данные:

ден.ед.

шт.

n=20 шт.

ден. ед.

t=2

Тогда средняя ошибка выборки будет равна: .

Отсюда получим величину предельной ошибки:

.

Вычислим пределы для генеральной средней: .

На основе проведенной выборки сделаем вывод: установлена средняя производительность труда для предприятий с возможным отклонением в ту или иную сторону не более, чем на 3,63 ден.ед., или в пределах от 17,88 до 25,14 ден.ед., что можно утверждать с вероятностью 0,954, т.е. в 954 случаях из 1000.

Определим пределы, в которых можно ожидать суммарную производительность труда для всех предприятий генеральной совокупности:

Таким образом, суммарную производительность труда для всех предприятий, составляющих генеральную совокупность, можно ожидать в пределах от 1788 до 2514 ден.ед.

Далее определим пределы, в которых можно ожидать количество предприятий с высоким и средним уровнем производительности в генеральной совокупности:

Таким образом, среди ста предприятий генеральной совокупности количество предприятий, обладающих искомым признаком можно ожидать в пределах от 87 до 93.

Задача 4

На предприятии из партии продукции в количестве 20000 шт. деталей взято на выборку 2000 шт. (отбор случайный, бесповторный), из которых 50 шт. оказались бракованными.

Определить с вероятностью 0,997 пределы, в которых будет находиться процент брака для всей партии продукции.

Решение

Определяется доля бракованной продукции по выборке:

или 2,5%.

При вероятности Р(t) =0,997 t = 3,0.

Размер предельной ошибки:

,

или 1%.

Доверительные интервалы для генеральной доли с вероятностью Р(t) =0,997:

;

.

С вероятностью 0,997, т.е. в 997 случаях из 1000 можно утверждать, что средний процент бракованных деталей будет находиться в пределах от 1,5 до 3,5%.

Задача 5

По городской телефонной сети в порядке случайной выборки (механический отбор) произвели 100 наблюдений и установили среднюю продолжительность одного телефонного разговора 7 минут при среднем квадратическом отклонении 2 минуты.

Какова вероятность того, что ошибка репрезентативности при определении средней продолжительности телефонного разговора не превысит 15 секунд?

Решение

По условию задачи известны:

объем выборки п = 100;

выборочная средняя = 7 мин;

выборочное среднее квадратическое отклонение = 2 мин;

предельная ошибка выборки равна: = 15 сек = 0,25 мин.

Рассчитаем среднюю ошибку выборки:

мин.

Рассчитаем значение t:

Затем по таблице на основе значения t оп­ределяется вероятность того, что ошибка не превысит заданной величины.

При t =1,25 вероятность Р(t) = 0,789.

Задача 6

На основе выборочного обследования в отделении связи города предполагается определить долю поздравительной корреспонденции в общем объеме отправляемой корреспонденции. Никаких предварительных данных об удельном весе этих писем в общей массе отравляемой корреспонденции не имеется.

Определить численность выборки, если результаты выборки дать с точностью до 1 % и гарантировать это с вероятностью 0,683.

Решение.

По условию задачи известны:

размер допустимой (предельной) ошибки = 1%, или 0,01;

при Р(t) =0,683 t= 1.

Так как значение w не дано, то следует ориентироваться на наибольшую дисперсию, которой соответствует значение w = 0,5.

Необходимая численность выборки равна:

единиц.

Таким образом, чтобы с заданной точностью определить долю поздравительных писем в общем объеме отправляемой корреспонденции, необходимо в порядке случайной выборки отобрать 2500 писем.

Задача 7

В университете в порядке случайной бесповторной выборки было опрошено 100 студентов из 1000 и получены следующие данные о времени, потраченном на дорогу из дома в университет:

Определить:

1) среднее время, потраченное на дорогу, для студентов данного университета, гарантируя результат с вероятностью 0,997;

2) долю студентов, потративших дорогу 1,2 часа и более, гарантируя результат с вероятностью 0,954;

3) необходимую численность выборки при определении среднего времени, потраченного на дорогу, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки не превышала 0,02 часа;

4) необходимую численность выборки при определении доли
студентов, потративших на дорогу 1,2 часа и больше, чтобы с
вероятностью 0,954 предельная ошибка не превышала 4%.

Решение.

1. Доверительный интервал среднего размера времени на дорогу: .

Средний размер времени по выборке:

ч.

Дисперсия по выборке:

При вероятности Р (t) = 0,997 t = 3,0.

Предельная ошибка выборки равна:

Доверительные интервалы для генеральной средней:

1-0,15 1+0,15.

0,85 1,15

Таким образом, среднее время, потраченное на дорогу, для студентов данного университета находится в пределах от 0,85 до 1,15 часа, это можно утверждать с вероятностью 0,997 или в 997 случаев из 1000.

2. Доля студентов, затрачивающих на дорогу 1,2 часа и более, по выборочным данным составляет:

.

При вероятности Р (t) = 0,954 t = 2,0.

Предельная ошибка доли:

.

Доверительные интервалы для генеральной доли:

;

.

Таким образом, доля студентов данного университета, тратящих на дорогу 1,2 часа и более, находится в интервале от 1,5% до 15%, что можно утверждать с вероятностью 0,954 или в 954 случаев из 1000.

3. Необходимая численность выборки для определения сред­него месячного дохода определяется по формуле:

.

По условию задачи известны:

при вероятности Р = 0,954 t = 2

;

(по данным предыдущей выборки).

чел.

Таким образом, в выборку необходимо отобрать 206 человек, что выполнялись указанные условия.

4. Необходимая численность выборки для определения доли студентов, тратящих на дорогу 1,2 часа и выше, определяется по формуле:

По условию задачи известны:

= 4%, или 0,04; при вероятности Р = 0,954 t = 2;

w = 0,06 (по данным предыдущей выборки).

человека.

Таким образом, в выборку необходимо отобрать 124 человека, что выполнялись указанные условия.

Задача 8

Операция шлифования при обработке детали № 18 производится в цехе на трех станках. Для определения процента брака для всей партии продукции, выработанной за день, проведена расслоенная (типическая) 10%-ная выборка. Отбор деталей из выработки каждого станка – случайный бесповторный; объем выборки пропорционален размеру выпуска. На первом станке было обработано 1500 деталей, на втором – 1800, на третьем – 1200 деталей. Число забракованных деталей в выборке: по первому станку –3, по второму – 4, по третьему – 2.

Определить:

1) доверительные интервалы, в которых с вероятностью 0,683 заключен процент брака для всей партии продукции;

2) вероятность того, что процент брака для всей партии продукции отличается от полученного по выборке не более чем на 0,5 %.

Решение.

1. Рассчитаем общий объем генеральной совокупности –

N = N₁ + N₂ + N ₃ = 1500 + 1800 + 1200 = 4500 деталей.

Численность выборки:

деталей,

в том числе по станкам численность выборки рассчитывается по формуле:

,

отсюда:

n₁ = 150 деталей,

n₂ = 180 деталей,

n ₃ =120 деталей.

Доверительные интервалы процента брака для всей партии продукции:

,

где W – процент брака для всей выборочной совокупности:

;

— предельная ошибка выборки.

По условию задачи

Расчет ошибки доли при типической выборке при пропорци­ональном размещении единиц определяется по формуле:

где — среднегрупповая выборочная дисперсия доли рассчитывается по формуле:

,

где — доля брака для каждого станка.

;

;

.

.

При вероятности P(t) = 0,683 t =1.

или 4%.

Доверительные интервалы:

,

.

Таким образом, доля процент брака для всей партии продукции находится в интервале от 1,6% до 2,4%, что можно утверждать с вероятностью 0,683 или в 683 случаев из 1000.

2. По второму заданию известна допустимая ошибка = 0,5% или 0,005, =0,004 (по первому заданию).

;

Отсюда , .

Величине t = 1,25 соответствует вероятность 0,7887.

Задача 9

При контрольной проверке качества яблок проведена 10%-ная серийная выборка. Из партии, содержащей 50 ящиков яблок (вес ящиков одинаков), методом механического отбора взято 5 ящиков. В результате сплошного обследования находящихся в ящике яблок получили данные об удельном весе бракованных яблок. Результаты представлены в таблице:

Требуется с вероятностью 0,954 установить доверительные интервалы удельного веса бракованной продукции для всей пар­тии яблок.

Для установления доверительного интервала, в котором для всей партии поставки находится доля бракованной продукции, используется формула:

.

,

где – межсерийная (межгрупповая) выборочная дисперсия доли;

m – число ящиков, попавших в выборку;

М – общее число ящиков.

При вероятности Р = 0,954 t = 2

или 0,015

(при расчете использована простая арифметическая, так как вес ящиков одинаков).

или 0,3%.

Доля находится в пределах:

.

Доверительные интервалы удельного веса бракованной продукции для всей пар­тии яблок находятся в интервале от 1,2 до 1,8%, что можно утверждать с вероятностью 0,954.

Задача 10

В цехе проектируется проведение моментных наблюдений для выявления текущих простоев производственного оборудования.

Требуется для организации моментных наблюдений определить необходимое число наблюдений и число обходов, если в цехе имеется 50 единиц предназначенного к работе оборудования. Никаких предварительных данных о доле простоев в сменном фонде не имеется. Ошибка наблюдения не должна превышать 5% и быть гарантирована с вероятностью 0,954.

Решение

Необходимая численность моментов наблюдения определяется по формуле:

По условию задачи:

t = 2 (так как вероятность Р = 0,954);

w–доля простоев по условию не дана, поэтому принимается наибольшая дисперсия альтернативного признака, когда w = 0,5.

= 5%, или 0,05,

тогда необходимая численность равна:

.

Число обходов (т.е. число записей о каждой единице оборудования) определяется путем деления числа наблюдений на число единиц оборудования:

.

Задача 11

Согласно условию вышерассмотренного примера, из совокупности отобрано 20 предприятий из 100 или 20%. При этом предельная ошибка равна 3,63. Если из генеральной совокупности отобрать 5% предприятий (5 из 100), то какой будет величина средней и предельной ошибки?

Рассчитаем величину средней и предельной ошибки:

.

Следовательно, ошибка увеличилась более, чем в 2 раза (8:3,63).

Поиск по сайту: