АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Задание к непрерывной модели логистического роста

Читайте также:
  1. A. моделирование потока капитальных вложений
  2. B. моделирование потока амортизации
  3. C. моделирование потока прибыли
  4. F. моделирование потока собственных оборотных средств
  5. II. Задание для самостоятельной подготовки
  6. II. Перенесение лингвистической модели в структурную антропологию
  7. А) Задание по вводу в действие производственных мощностей
  8. Альтернативные модели памяти
  9. Аналитические модели
  10. Аналитическое задание
  11. Аналогия и моделирование
  12. Англо-саксонская и японо-германская модели корпоративного контроля. Сравнительные преимущества и недостатки этих моделей.

Семинар 2

Непрерывные и дискретные модели роста популяций, описываемые одним уравнением.

 

Непрерывная модель экспоненциального роста в неограниченной среде

В основе этой модели, предложенной Мальтусом в 1798 г., лежит предположение, что прирост численности вида пропорционален этой численности и интервалу времени, за который произошел прирост:

 

DX = r×X×Dt

 

Здесь r – константа собственной скорости роста популяции.

Совершив предельный переход, получим линейное дифференциальное уравнение:

 

dX/dt = r×X,

 

решением которого является функция

 

X(t) = X0×exp(r×t),

 

где X0 – начальная численность популяции.

Пример применения модели Мальтуса – описание развития однородной популяции в условиях неограниченных ресурсов питания (рост клеточной культуры, пока не начнет истощаться среда).

 

Задание к модели экспоненциального роста.

Изучение влияния параметра r (скорость роста) на форму кривой роста.

Постройте три графика для разных скоростей роста, исходя из одинаковой начальной численности.

(Масштаб осей: 0<t<50, 0<X(t)<100)

 

 

Начальная численность: 10

 

Скорость роста: 0.05

0.1

0.2

 

Зарисуйте в тетрадь все три графика в одних координатных осях.

 

2. Непрерывная модель логистического роста

Модель логистического роста была предложена Ферхюльстом в 1938 г. для описания развития популяции в условиях ограниченных ресурсов питания. В основу модели положено уравнение

 

dX/dt = r×X - b×X2,

 

которое приводится к виду

 

dX/dt = r×X (1 – X/K)

 

Член (- b×X2), пропорциональный количеству встреч между особями, учитывает «самоотравление» популяции, объяснимое многими причинами (конкуренция за ресурсы питания, выделение в среду вредного метаболита и др.). Коэффициент b называется коэффициентом внутривидовой конкуренции. Величина К = r/b соответствует устойчивому стационарному состоянию с максимально возможной в данных условиях численностью популяции и называется «емкостью среды», Параметр r называется скоростью роста и характеризует способность популяции к увеличению численности. Решением дифференциального уравнения является функция

 

X(t) = X0×exp(r×t)/(1+ X0×(exp(r×t)-1)/K),

 

где X0начальная численность популяции.

Характер логистической кривой зависит от величины параметров r и K и от начальной численности X0.

 

Задание к непрерывной модели логистического роста.

1. Изучение влияния собственной скорости роста на динамику численности популяции.

Постройте кривые роста для трех разных значений скорости роста.

(Масштаб осей: 0<t<50, 0<X(t)<1500)

 

Начальная численность: 10

Емкость среды: 1000

 

Скорость роста: 0.2

0.5

1.0

 

Зарисуйте три графика в одних координатных осях.

Для одного из графиков определите фазы экспоненциального, линейного и стационарного роста.

Для каждого графика определите момент, в который скорость роста популяции начинает уменьшаться.

 

2. Изучение влияния начальных условий на форму кривой роста.

Постройте графики для трех разных начальных численностей.

(Масштаб осей: 0<t<50, 0<X(t)<1500)

 

Скорость роста 0.5

Емкость среды 1000

 

Начальная численность: 10

 

Зарисуйте три графика в одних координатных осях.

При какой начальной численности кривая имеет точку перегиба?

 

3. Модель с нижней и верхней критическими границами численности популяции.

В реальных условиях численность популяции не должна опускаться ниже некоторой критической величины. При падении плотности популяции ниже критической величины время, в течение которого может состояться оплодотворение, становится больше времени жизни одной особи, точнее, времени, в течение которого особь способна к размножению. В этом случае популяция вымирает. Учесть эти процессы позволяет модель:

 

dX/dt = r×X2/(b+c×X) - d×X - p×X2

 

Здесь член (r×X2)/(b+c×X) отражает тот факт, что в двуполых популяциях при малых численностях скорость роста пропорциональная вероятности встреч особей разного пола

(r×X2), а при больших численностях - количеству самок в популяции (X×r/c). Слагаемое (-d×X) описывает естественное вымирание особей, слагаемое (- p×X2) – самоограничение вида.

Модель имеет три стационарных решения: два устойчивых (X1 = 0 и X3 = K) и одно неустойчивое (X2 = L, 0<L<K). Неустойчивое решение (X2 = L) соответствует нижней критической границе численности, а одно из устойчивых (X3 = K) – верхней критической границе.

 


1 | 2 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)