Змістовий модуль І. Загальні поняття

Питання для підготовки до екзамену з математики

1. Поняття множини. Елементи множини.

2. Одноелементна множина. Порожня множина.

3. Приклади скінченних та нескінченних множин.

4. Способи задання множин.

5. Рівні множини. Підмножина.

6. Універсальна множина. Круги Ейлера-Венна.

7. Переріз, об'єднання множин, різниця двох множин, доповнення до універсальної множини.

8. Закони операцій над множинами.

9. Поняття розбиття множини на множини (класи), що попарно не перетинаються.

10. Кортеж. Означення. Рівність кортежів.

11. Декартів добуток множин. Означення. Властивості.

12. Декартів квадрат, куб.

13. Геометрична ілюстрація декартового добутку.

14. Число елементів декартового добутку.

15. Означення відповідності між елементами двох множин. Бінарна відповідність. Множина відправлення, множина прибуття.

16. Способи задання відповідностей. Граф і графік відповідності.

17. Образи та прообрази елементів і множин.

18. Множина значень, область визначення відповідностей.

19. Взаємно однозначне відображення множини на множину. Рівнопотужні множини.

20. Потужність скінченних множин. Зчисленні множини.

21. Поняття відношення у множині.

22. Відношення еквівалентності та порядку.

23. Поняття як форма мислення. Зміст і обсяг поняття. Означувані та неозначувані поняття.

24. Способи означення понять.

25. Структура означення понять через рід і видову відмінність (ознаку).

26. Генетичні означення.

27. Означення через узгодження.

28. Індуктивні означення.

29. Поняття висловлень. Логічні операції над висловленнями.

30. Формули. Таблиці істинності.

31. Порядок виконання логічних операцій. Логічні змінні.

32. Рівносильні формули. Тотожно істинні формули.

33. Логічне слідування. Логічний наслідок.

34. Предикати. Логіка предикатів. Висловлювальні форми.

35. Одномісний предикат. Двомісний предикат, n-місний предикат.

36. Операції алгебри висловлень над предикатами.

37. Квантори. Заперечення кванторів.

38. Поняття логічного слідування для кванторів.

39. Загальні правила комбінаторики.

40. Розміщення без повторень. Розміщення з повтореннями.

41. Перестановки без повторень. Перестановки з повтореннями.

42. Комбінації. Трикутник Паскаля.

Література: [1,23-34, 52-64] [2,3-49, 56-83], [3,38-42], [4, 42-51], [6, 15-42, 53-83, 87-101], [7,5-69, 79-160], [8,10-30, 47-67, 130-154] [16, 15-32, 61-123]

Змістовий модуль ІI. Цілі невід’ємні числа

1. Короткі відомості про виникнення поняття натурального числа і нуля.

2. Теоретико-множинний та аксіоматичний підхід до побудови множини цілих невід'ємних чисел.

3. Поняття натурального числа і нуля.

4. Відношення «рівно», «менше» і «більше» на множині цілих невід'ємних чисел.

5. Властивості множини цілих невід'ємних чисел.

6. Поняття відрізка натурального ряду чисел та лічби елементів скінченої множини. Порядкові та кількісні натуральні числа

7. Означення суми, її існування і єдність.

8. Закони додавання.

9. Теоретико-множинне пояснення додавання.

10. Додавання в початковому курсі математики.

11. Означення різниці, її існування та єдність.

12. Теоретико-множинне пояснення віднімання.

13. Теоретико-множинний смисл правил віднімання чисел від суми і суми від числа.

14. Віднімання в початковому курсі математики.

15. Означення добутку, його існування та єдність.

16. Означення добутку через суму однакових доданків та декартів добуток.

17. Закони множення. Наслідки з комутативного та асоціативного законів множення.

18. Означення частки цілого невід'ємного числа на натуральне, її існування та єдність.

19. Ділення на вміщення, ділення на частини.

20. Кратні числа. Властивості ділення.

21. Теоретико-множинний смисл правил ділення суми і добутку на число.

22. Ділення з остачею.

23. Множення та ділення в початковому курсі математики.

24. Історія виникнення аксіоматичного методу. Піфагор, Евклід, М.І. Лобачевський.

25. Система аксіом Пеано. Означення. Приклад доведення теорем.

26. Метод математичної індукції. Приклади використання методу математичної індукції під час доведення теорем.

27. Властивості системи аксіом. Несуперечність системи аксіом. Інтерпретація як доказ несуперечності. Повнота системи аксіом. Незалежність системи аксіом.

28. Аксіоматичне означення додавання цілих невід’ємних чисел.

29. Аксіоматичне означення множення цілих невід’ємних чисел.

30. Аксіоматичне означення віднімання та ділення цілих невід’ємних чисел

Література: [2, 107-124], [6, 161-221], [7, 169-220], [8, 164-192], [16, 124-197].

Змістовий модуль ІII. Системи числення, подільність чисел

1. Поняття системи числення. Непозиційні та позиційні системи числення.

2. Історія виникнення числення.

3. Записування і називання чисел у десятковій системі числення.

4. Системні числа. Розрядні одиниці. Вивчення розрядних одиниць у початковій школі.

5. Алгоритм додавання над цілими невід’ємними числами у десятковій системі числення. Використання законів додавання у алгоритмах додавання.

6. Алгоритм віднімання над цілими невід’ємними числами у десятковій системі числення.

7. Алгоритм множення над цілими невід’ємними числами у десятковій системі числення.

8. Алгоритм ділення над цілими невід’ємними числами у десятковій системі числення.

9. Техніка усного і письмового виконання арифметичних дій над цілими невід'ємними числами.

10. Позиційні системи числення, відмінні від десяткової: записування чисел, арифметичні дії.

11. Існування і єдність зображення числа в інших системах числення.

12. Додавання чисел в недесяткових системах числення.

13. Віднімання чисел в недесяткових системах числення.

14. Множення чисел в недесяткових системах числення.

15. Ділення чисел в недесяткових системах числення.

16. Перехід від недесяткової системи числення в десяткову.

17. Перехід від десяткової системи числення у недесяткову.

18. Особливості переходу з двійкової у вісімкову систему числення.

19. Перехід від однієї недесяткової системи числення до іншої недесяткової системи числення.

20. Використання двійкової системи числення в ЕОМ.

21. Означення відношення подільності на множині цілих невід'ємних чисел. Властивості відношення подільності.

22. Теорема про рефлексивність відношення подільності. Транзитивність відношення подільності.

23. Подільність суми, різниці та добутку цілих невід'ємних чисел.

24. Ознаки подільності у десятковій системі числення. Ознаки подільності на 2, 3, 4, 5, 9, 11.

25. Загальна ознака подільності Паскаля.

26. Ознака подільності на складене число.

27. Прості та складені числа.

28. Решето Ератосфена. Нескінченність множини простих чисел.

29. Основна теорема арифметики. Однозначність розкладу натурального числа на прості дільники.

30. Найменше спільне кратне і найбільший спільний дільник чисел, їх властивості.

31. Зв’язок НСД і НСК.

32. Алгоритми знаходження найбільшого спільного дільника і найменшого спільного кратного даних чисел за канонічним розкладом.

33. Алгоритм Евкліда.

Література: [2, 141-143, 146-172], [6, 248-281], [7, 192-229], [16, 166-215].

Змістовий модуль IV. Розширення поняття числа. Вирази, рівняння та нерівності

1. Задача розширення поняття числа.

2. Множина натуральних, цілих, раціональних, дійсних чисел.

3. Необхідність розширення множини натуральних чисел.

4. Поняття переходу. Зміна чисельності.

5. Побудова множини цілих чисел. Зображення цілих чисел на числовій прямій.

6. Властивості множини цілих чисел та їх геометрична інтерпретація.

7. Арифметичні дії над цілими числами.

8. Короткі історичні відомості про виникнення поняття дробу.

9. Задача розширення поняття числа.

10. Поняття дробу. Рівність дробів. Основна властивість дробу.

11. Додатне раціональне число. Теорема про існування і єдність нескоротного дробу для будь-якого раціонального числа.

12. Арифметичні дії над додатними раціональними числами. Закони додавання і множення.

13. Властивості множини раціональних чисел: зчисленність, щільність, впорядкованість, нескінченність.

14. Поняття системного дробу. Десяткові дроби. Порівняння десяткових дробів.

15. Алгоритми арифметичних дій над десятковими дробами.

16. Теорема про перетворення звичайних дробів у десяткові.

17. Періодичні десяткові дроби. Раціональні числа як нескінченні періодичні десяткові дроби.

18. Перетворення періодичних дробів у звичайні.

19. Необхідність розширення множини додатних раціональних чисел.

20. Практичні задачі, які приводять до поняття несумірних відрізків.

21. Поняття додатного ірраціонального числа.

22. Додатні дійсні числа. Нескінченні десяткові неперіодичні дроби.

23. Відношення порядку на множині додатних дійсних чисел. Порівняння чисел на множині додатних дійсних чисел.

24. Властивість неперервності. Множина дійсних чисел.

25. Арифметичні дії над дійсними числами.

26. Числовий вираз і його значення.

27. Числові рівності та нерівності, їх властивості.

28. Вираз із змінною, його область визначення.

29. Тотожно рівні вирази. Тотожна рівність на множині. Тотожні перетворення виразів.

30. Рівняння та нерівності з однією змінною. Область визначення рівняння з однією змінною.

31. Розв’язок рівняння та нерівності. Рівносильні рівняння і нерівності.

32. Теореми про рівносильність рівнянь і нерівностей.

33. Системи і сукупності нерівностей з однією змінною. Приклади.

34. Кон’юнкція нерівностей.

35. Диз’юнкція нерівностей.

36. Рівняння з двома змінними. Приклади з курсу початкової школи.

37. Рівняння кола .

38. Рівняння прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, загальне рівняння прямої, рівняння прямої у відрізках на осях.

39. Нерівності з двома змінними. Розв’язок нерівностей. Графік нерівностей.

40. Графічне розв'язування нерівностей із двома змінними.

41. Система рівнянь із двома змінними. Розв’язок системи рівнянь.

42. Аналітичний спосіб розв’язування системи рівнянь.

43. Графічне розв'язування систем рівнянь із двома змінними.

44. Система нерівностей з двома змінними.

45. Графічне розв'язування систем нерівностей із двома змінними.

Література: [2, 141-143, 146-172, 248-269], [6, 248-281, 422-437, 440-445, 451-455], [7, 192-229], [16, 166-215].

Змістовий модуль V. Функції та елементи геометрії

1. Означення числової функції. Способи задання функцій (аналітичний, табличний та графічний).

2. Графік функції.

3. Лінійна функція, пряма та обернена пропорційності, їх властивості та графіки.

4. Означення квадратичної функції. Властивості квадратичної функції.

5. Min та max квадратичної функції. Розв’язування задач на використання екстремумів квадратичної функції.

6. Побудова графіка функції.

7. Операції над функціями та графіками.

8. Сума та добуток функцій. Приклади побудов графіків сум та добутків функцій.

9. Складена функція та побудова її графіка.

10. Перетворення графіків.

11. Переміщення графіка на а одиниць.

12. Гомотетичне перетворення графіка. Розтяг та стиснення графіка. Приклади.

13. Історичні відомості про виникнення й розвиток геометрії. Періоди виникнення і розвитку геометрії.

14. Поняття про аксіоматичний метод в геометрії. Логічна побудова геометрії як науки. Система аксіом.

15. Історичні відомості про розвиток аксіоматичного методу в геометрії. Евклід, М.І. Лобачевський.

16. Система геометричних понять, що вивчаються в школі. Геометричні фігури, їх означення і властивості.

17. Основні геометричні побудови циркулем і лінійкою. Найпростіші побудови циркулем та лінійкою.

18. Побудови циркулем та лінійкою в початковій школі.

19. Основні побудови. Достатня кількість елементів для геометричної побудови. Приклади.

20. Означення правильного многокутника.

21. Теорема Гауса.

22. Приклади побудови правильних многокутників.

23. Будова теореми. Види теорем.

24. Спосіб доведення від супротивного.

25. Інші способи доведення теорем.

26. Многогранники. Види многогранників.

27. Співвідношення між числом плоских кутів, їх сумою і числом ребер многогранника.

28. Теорема Ейлера про многогранники.

29. Правильні многогранники. Зображення многогранників на площині.

30. Тіла обертання.

31. Призма, прямокутний паралелепіпед, піраміда, циліндр, конус, куля. Зображення цих фігур на площині.

Література: [2, 83-93, 272-349], [4, 140-147], [6, 141-151, 455-465, 472-498], [8, 143-151].

Поиск по сайту: