Методи побудови рівноважних апроксимацій

Розглянемо деяку однорідну підобласть тіла (мал. 11.1) і виберемо на її межі пг вузлів. Назвемо цю область суперелементом, використовуючи термінологію книги [72]. На відміну від кінцевого елементу, суперелемент може мати довільну форму і змінне число граничних вузлів. Усередині суперелементу виберемо місцеву систему координат хуг, по можливості направивши її уздовж головних осей анізотропії матеріалу.

Під дією відомих об'ємних і поверхневих сил в суперелементі виникають напруження , які викликають деформації і переміщення . Згідно(8.22) для пружного тіла істинні переміщення мають бути рішеннями наступних диференціальних рівнянь рівноваги:

(11.1)

Для точного задовільнення цих рівнянь представимо переміщення наступним рядом з невизначеними коефіцієнтами .

(11-2)

де (,х, у, z) - деякий відомий окремий розв'язок неоднорідного рівняння

(11.3)

а функції задовольняють відповідному однорідному рівнянню:

(11.4)

При будь-якому виборі коефіцієнтів апроксимація (11.2) буде рівноважною, тобто переміщення, що задаються з її допомогою, тотожно задовольняють диференціальним рівнянням рівноваги (11.1).

У окремому випадку ізотропного матеріалу з коефіцієнтом Пуассона функції можуть бути вибрані з класу функцій, що задаються представленнями Папковича, - Нейбера [16, 17 63, 86, 93, 125]:

(11.5)

де ((х, у, z) є так звані гармонійні функції, що задовольняють рівнянню Лапласа:

(11.6)

Відзначимо, що без обмежень спільності в представленнях(11.5) можна покласти Задаючи функції рядами по відомих приватних рішеннях рівняння Лапласа

(11.7)

і підставляючи їх в(2.4), приходимо до рівноважної апроксимації (2.1). Для функцій можуть бути рекомендовані дійсні і уявні частини наступних комплексних функцій (11.8)

або інші, отримувані з них перехресною заміною змінних.

Помітимо, що в монографіях [16, 17] запропоновані і досліджені повні базисні системи поліноміальних рішень як рівнянь Лапласа(11.6), так і рівнянь рівноваги(11.1) для ізотропного тіла. Доведено, що будь-який повний поліном довільного порядку може бути представлений розкладанням в ряд, що абсолютно і рівномірно сходиться, за системою рівноважних статечних(степеневих) поліномів. Для їх побудови запропоновані рекурентні формули, алгоритми і програми.

Для трансверсально-ізотропного тіла відповідні представлення переміщень через гармонійні функції вказані в [63,93].

На жаль, подібних представлень не існує для анізотропного тіла. Тому для побудови рівноважних апроксимацій треба користуватися іншими підходами. Найпростіший з них, що називається методом невизначених коефіцієнтів, полягає в наступному [17, 36, 38]. Представимо переміщення у вигляді статечних (степеневих) рядів, наприклад:

(11.9)

і підставимо їх в кожне з трьох однорідних рівнянь (11.1) при . Після диференціювання кожне з трьох рівнянь буде умовою рівності нулю деякого полінома з коефіцієнтами, лінійно залежними від :

(11.10)

Безліч рівнянь визначає умови зв'язку між коефіцієнтами , з яких треба вибрати n незалежних і позначити їх . Врахування цих умов в (11.9) дозволяє отримати n вектор-функцій з рівноважної апроксимації(11.2).

Слід відмітити, що процес побудови рівноважних апроксимацій легко піддається автоматизації.

Поиск по сайту: