Варіанти застосування методу. Порівняння з методом переміщень

Досвід використання МРГЕ дозволяє сформулювати наступні рекомендації щодо його застосування.

Якщо розраховується двовимірне однорідне тіло не надто складної форми, то його можна замінити одним супер-елементом. При цьому розв'язувальна система лінійних рівнянь матиме невисокий порядок (<300-400 рівнянь), так що система може бути ефекивно вирішена за допомогою прямих методів. Так як дискретизується тільки межа тіла, обсяг необхідної для введення в ЕОМ інформації різко скорочується порівняно з МСЕ. До того ж немає необхідності в обчисленні складних об'ємних інтегралів.

Якщо ж розраховується тривимірне тіло або двовимірне тіло складної форми, то порядок роздільної системи може виявитися настільки великим, що вирішити її прямими методами в реальні масштаби часу буде неможливо. Навіть якщо рішення буде отримано, точність його буде сумнівна внаслідок можливості накопичення великих помилок округлення при вирішенні систем підвищеної розмірності. Вихід полягає у використанні декількох супер-елементів. При цьому за рахунок отриманої стрічковості системи рівнянь вдається скоротити обчислювальні витрати, У цьому випадку оптимальними будуть блокові методи розв'язання систем, описані в додатку 4.

Слід зазначити, що можливість варіювання кількістю і розмірами суперелементів дозволяє гнучко управляти такими основними характеристиками систем лінійних рівнянь, як порядок n і ширина стрічки f. Як відомо [90, 131], яке визначається кількістю операцій час вирішення системи прямими методами пропорційно nf², тобто

T= . (11.48)

Для зменшення Т потрібно, з одного боку, зменшувати f, що веде до зростання n за рахунок збільшення необхідного числа супер-елементів. У межі супер-елемент може зменшитися до розміру кінцевого елемента. При цьому отримуємо метод рівноважних кінцевих елементів [37-40]. Його відмінність від методу переміщень полягає в тому, що базисні функції вибираються рівноважними. За рахунок цього вдається при обчисленні матриці жорсткості замість об'ємного інтеграла обчислювати поверхневий, який може виявитися простішим. Інший шлях зменшення часу рішення системи полягає в скороченні n. При цьому f збільшується до граничного значення f=n, що призводить до МРГЕ з одним супер-елементом.

Очевидно, завжди існує критичне число r=n/f [137, 149], вище якого ефективні граничні методи, а нижче - методи кінцевих елементів. Фактично в кожному розрахунковому випадку виникає дилема: що краще, вирішити велику стрічкову систему або малу нестрічкову? МРГЕ дозволяє оптимально вирішити це питання.

Звичайно, час вирішення системи лінійних рівнянь не завжди є вирішальним фактором для вибору тієї чи іншої дискретної методики розв'язку крайової задачі. Слід враховувати обсяг необхідних вихідних даних для ЕОМ, витрати на програмну реалізацію методу, зручність інтерпретації результатів розрахунку і т. п.

На ранніх етапах розвитку граничних методів вважалося, що вони, безумовно, краще кінцево - елементних методів, тому що дозволяють знизити розмірність задачі на одиницю. В даний час це твердження не зовсім вірно. Наприклад, при розрахунку шаруватих або інших періодично неоднорідних середовищ методами граничних елементів розрахункові системи мають більшу ширину стрічки і середню розмірність (700-1500 рівнянь). Існуючі програми не в змозі ефективно вирішити їх. Якщо ж застосувати звичайний МСЕ, то за рахунок малої ширини стрічки (100 - 150) вдається в реальні відрізки часу вирішити навіть надвеликі системи (5000-10000). Крім того, існують цілі класи завдань, для яких гранично- елементні методики ще не розвинені, наприклад задачі розрахунку оболонок змінної кривизни, багатошарових оболонок, підкріплених конструкцій і т. п.

З іншого боку, існують незаперечні «гранично- елементні» класи задач ■ - просторові задачі теорії пружності для однорідних тіл, безліч двовимірних проблем.

Найлогічніше концепція, що містить неперспективність суперечок про те, що краще - гранично- або кінцево- елементні методи, полягає в об'єднанні достоїнств обох методів в рамках єдиного узагальненого методу скінченних елементів. Така концепція сформульована Зенкевичем в книзі [ 47 ]. У МРГЕ вдається «матеріалізувати» цю концепцію, так як він легко зводиться і до звичайно -елементним, і до гранично- елементних методиками.

Отже, МРГЕ і МСЕ природним чином сполучаються між собою, так як побудовані на основі єдиного принципу стаціонарності потенційної енергії. На практиці комбінування цих методів проводиться очевидним чином: одна частина тіла представляється одним або декількома суперелементов, а інша - безліччю кінцевих елементів. Такий підхід особливо перспективний для розрахунку складених конструкцій.

Говорячи про ефективність реалізації МРГЕ, слід відзначити ще одну цікаву можливість. За аналогією з МСЕ рекомендується визначити набір типових суперелементов простої форми, з яких потім, як з цеглинок, можна буде «збирати» реальну конструкцію. Наприклад, можна побудувати суперелементов окружності, циліндра, конуса, куба, прямокутної пластини і т. д. Різноманітність можливих форм і числа вузлів набагато ширше, ніж для звичайних КЕ.

Поиск по сайту: