Скорость и ускорение при задании движения естественным способом

Скорость и ускорение точки при задании движения в декартовых координатах

Скорость и ускорение точки при задании движения в полярных координатах

Скорость и ускорение при задании движения естественным способом

Скоростью точки называют пространственно-временную меру, характеризующую быстроту и направление движения точки.
Ускорением точки называют пространственно-временную меру, характеризующую изменение абсолютной величины и направления скорости. Способы задания движения точки. Определение скорости и ускорения точки. Для задания движения точки в пространстве пользуются каким-либо одним из трех основных способов: векторным, координатным, естественным.
Векторный способ. Положение точки в пространстве однозначно определяется заданием радиуса-вектора , проведенного из некоторого неподвижного центра О в данную точку М. Для определения движения точки должна быть задана вектор-функция аргумента t (рис. 1.43):
(1.40)

Траекторией точки является г о д о г р а ф радиуса-вектора.
Вектор скорости точки в данный момент времени t равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени и направлен по касательной к траектории точки в сторону движения (рис. 1.44).
(1.41)

Размерность [V] = [длина/время] = L/t = м/с.
С к о р о с т ь - это векторная величина, характеризующая быстроту и на-правление движения точки в данной системе отсчета.
У с к о р е н и е м точки называется вектор, характеризующий быстроту изменения вектора скорости (рис. 1.45)
(1.42)

Ускорение точки равно первой производной от вектора скорости или вто-рой производной от радиуса-вектора точки по времени. Вектор ускорения точ-ки всегда направлен в сторону вогнутости траекториии и лежит в так называемой соприкасающейся плоскости.

Рис.

1.43 Рис. 1.44 Рис. 1.45

Рис. 1.46

Координатный способ. Рассмотрим движение точки в прямо угольной системе декартовых координат. Положение точки М в системе отсчета OXYZ определяется тремя декартовыми координатами точки x, y, z.

уравнения движения точки в декартовых коорди-натах. Обозначим орты осей координат . Проведем из начала координат в движущуюся точку М радиус-вектор , где , тогда

где

проекции вектора скорости точки на неподвижные оси декартовых координат. Модуль и направление вектора скорости

V = = (1.45)
; ; (1.46)

Ускорение точки определяем, зная, что

где

проекции ускорения на координатные оси.
Модуль и направляющие косинусы вектора ускорения:

(1.48)
(1.49)

Естественный способ. Движение точки определено, если зада-ны (рис. 1.47):
- траектория, положение которой относительно выбранной системы от-счета известно;
- начало и направление отсчета дуговой координаты;
- уравнение движения
s = f(t), (1.50)

связывающее расстояние S движущейся точки от начала отсчета со временем. В общем случае расстояние S не равно пройденному точкой М пути, так как точ-ка может начать движение не из начала отсчета О, а из другого положения (М1). Численное значение скорости
(1.51)

т.е. равно первой производной по времени от расстояния. Знак скорости показывает направление движения точки в данный момент. При знаке "плюс" точка движется в сторону положительного отсчета расстояний и наоборот.
При естественном способе задания движения ускорение точки определя-ют его составляющими, направленными по так называемым естественным осям. Траектория точки, как и любая кривая, имеет три естественные оси (рис. 1.48):
- касательную (орт оси- ) направленную в сторону положительно-го отсчета;
- главную нормаль (орт оси- ) - линию пересечения соприкасаю-щейся и нормальной плоскостей, направленную в сторону вогнутости кривой;
- бинормаль (орт оси- ), перпендикулярную касательной и главной нормали.

Поиск по сайту: