Невласні інтеграли

Ми ввели визначений інтеграл як границю інтегральних сум, передбачаючи при цьому, що відрізок інтегрування скінченний, а підінтегральна функція на цьому відрізку обмежена. Якщо хоча б одна з цих умов порушується, то наведене вище означення визначеного інтеграла стає неприйнятним: у випадку нескінченного проміжку інтегрування його не можна розбити на n частинних відрізків скінченної довжини, а у випадку необмеженої функції інтегральна сума явно не має скінченної границі. Узагальнюючи поняття визначеного інтеграла на ці випадки, приходимо до невласного інтеграла — інтеграла від функції на необмеженому проміжку або від необмеженої функції.

1. Невласні інтеграли х нескінченними межами інтегрування (невласні інтеграли першого роду).

Нехай функція визначена на проміжку і інтегровна на будь-якому відрізку , де . Тоді, якщо існує скінченна границя

, (24)

Її називають невласним інтегралом першого роду і позначають так:

. (25)

Таким чином, за означенням

. (26)

У цьому випадку інтеграл (25) називають збіжним, а підінтегральну функцію — інтегровною на проміжку .

Якщо ж границя (24) не існує або нескінченна, то інтеграл (25) називається також невласним, але розбіжним, а функція — неінтегровною на .

Аналогічно інтегралу (26) означається невласний інтеграл на проміжку :

. (27)

Невласний інтеграл з двома нескінченними межами визначається рівністю

, (28)

де c — довільне дійсне число. Отже, інтеграл зліва у формулі (28) існує або є збіжним лише тоді, коли є збіжними обидва інтеграли справа. Можна довести, що інтеграл, визначений формулою (28), не залежить від вибору числа c.

З наведених означень видно, що невласний інтеграл не є границею інтегральних сум, а є границею означеного інтеграла із змінною межею інтегрування.

Зауважимо, що коли функція неперервна і невід’ємна на проміжку і коли інтеграл (26) збігається, то природно вважати, що він виражає площу необмеженої області (рис. 2).

Рис. 2

2. Невласні інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли другого роду).

Рис. 3	Рис. 4	Рис. 5

Нехай функція визначена на проміжку . Точку назвемо особливою точкою функції , якщо при (рис. 3). Нехай функція інтегрована на відрізку при довільному такому, що ; тоді, якщо існує скінченна границя

, (29)

її називають невласним інтегралом другого роду і позначають так:

. (30)

Отже, за означенням

. (31)

У цьому випадку кажуть, що інтеграл (30) існує або зберігається. Якщо ж границя (29) нескінченна або не існує, то інтеграл (30) також називають невласним інтегралом, але розбіжним.

Аналогічно якщо — особлива точка (рис. 4), то невласний інтеграл визначається так:

.

Якщо необмежена в околі якої-небудь внутрішньої точки , то за умови існування обох невласних інтегралів і за означенням покладають (рис. 5).

.

Нарешті, якщо a та b — особливі точки, то за умови існування обох невласних інтегралів і за означенням покладають

,

де c — довільна точка інтервалу .

Поиск по сайту: