Кубічні сплайни (1D-типу)

Основна ідея класичних сплайнів 1D-типу відповідає лінійній інтерполяції його других похідних в місцях вимірювань. Почнемо з прикладу, а пізніше сформулюємо загальне правило для безперервних 1D-сплайнів з частковою кубічною функцією. Кубічна функція є альтернативою для позначення полінома третього ступеня.

Приклад 3.1.1.1

Повернемося до загальновідомих часових вимірів: Z1 = Z (1) = 0,1, Z2 = Z (4) = 0,2, Z3 = Z (7) = -0.1, Z4 = г (10) = -0.2

Ми шукаємо групу часткових кубічних функцій. Кожна функція існує тільки в інтервалі між двома сусідніми місцями вимірювань. Перехід від одного функції до іншої повинні бути двічі диференційована.

Таким чином, ми починаємо з групи функцій S1 (х), S2 (х), S3 (х), що в математиків позначається як "частково визначена функція" S (X), яку назвемо сплайн функція або сплайн. У нас є чотири виміри, тобто три прилеглі інтервали:

Позначимо невідомі другі похідні точками М1, М2, М3, М4, за умови, що ці похідні існують і ці значення повинні бути оцінені

для того, щоб побудувати відповідний сплайн. Оскільки проходи (інтервали) двічі диференційовані,

повинні мати.

Ми встановили, що перша і остання точка другої похідної (зовнішні другі похідні) дорівнює нулю: M1 = M4 = 0. Це зроблено тому, що число рівнянь має дорівнювати кількісті змінних, які повинні бути визначені. Якщо інші значення зовнішніх других похідних відомі, наприклад, з практичної точки зору, вони можуть бути використані замість нулів.

Крім того, друга похідна в точці х між місцями вимірювань отримуються наступною лінійною інтерполяцією призначених для цього других похідних (див. приклад 3.1.1.1):

Встановивши, що x1 = 1, x2 = 4, x3 = 7, x4 = 10, можна легко довести, що ця лінійна інтерполяція відтворює "точні значення" M1, M2, M3, M4 других похідних в точках проходу. Завдяки цій інтерполяції, небажані коливання між вимірювання можуть зменшуватися.

Тепер, ми можемо реконструювати перші похідні сплайна S (х) з других похідних за допомогою інтеграції (поєднання) (* 0,3):

Деякі реальні проблеми та їх вирішення

де A1, A2, A3 є константами. Читач може переконати самого себе, що (* 0,4) це може мати місце при повторному диференціюванні (* 0,3). Крім того, ми можемо реконструювати сплайн S (X), використовуючи той же принцип інтеграції, але в цьому випадку ми інтегруємо (* 0,4) і отримуємо

де В1, В2, В3 є константами, які зникають, якщо ми розрізняємо (* 0,5), щоб отримати (* 0,4). Всі константи A1, A2, A3 і B1, B2, B3, використовуючи M2, M3 можуть бути чітко визначені при врахуванні шести додаткових умов. Інтерполяція передбачає, що всі чотири вимірювальні місця дають нам ці умови, бо кожна "частина" S1 (х), S2 (х), S3 (х) сплайну S (х) продукує рівно два рівняння:

S1 (1) = Z (1) = 0,1, S1 (4) = Z (4) = 0,2,

S2 (4) = Z (4) = 0,2, S2 (7) = Z (7) = -0.1,

S3 (7) = Z (7) = -0.1, S3 (10) = Z (10) = -0.2

(* 0,6)

Тепер, давайте розглянемо другий ряд рівнянь (* 0,6) детальніше:

Через деяке спрощення, ми отримуємо

Нарешті:

Для інших рівнянь (* 0,6):

Отримали, а далі визначаємо:

Таким чином, при визначені невідомих других похідних M2, M3, отримуємо повний сплайн. Для забезпечення плавного переходу між функціями S1 (х), S2 (х), S3 (х) необхідно, щоб перші похідні прилеглих функцій у вимірювальних місцях були однакові:

Це призводить до

Після спрощення та визначення А1, А2, А3, отриманих вище, одержуємо:

Тепер у нас є два лінійних рівняння [або лінійної системи рівнянь (LSE)] з двома невідомими змінними М2, М3. Відома математична теорема обчислення гарантує, що вирішення цієї LSE існує. У нашому випадку рішення дається, якщо М2 = 6/75, М3 = 4/75. Таким чином, після того, як за допомогою цих значень в (*.7__), (* 0,8), і (*.8_) для оцінки константи A1, A2, A3 і B1, B2, B3, кубічний сплайн (* 0,10) вираховується [див (0,1 *) і рис. 3.3]:

Загальне правило для розрахунку 1D кубічних сплайнів говорить: Інтервал [а, Ь] можна розділити на N - 1 підінтервалів за допомогою  = {X1 = <х2 <.,, <Х ^ = Ь}. Кубічний сплайн – це двічі диференційована, часткова кубічна функція такого вигляду:

З

і М2,.,,, МН-1 є рішеннями наступній LSE:

де використовуються такі скорочення:

Примітка: Як зазначено вище рішення LSE (3-8) забезпечується теоретичним міркуванням. Крім того, якщо дані надходять з невідомої функції F (X), відповідний кубічний сплайн S (X) в заданому інтервалі [а, Ь] сходиться до функції F (X) в цьому інтервалі. Завдяки цьому факту, небажані коливання між даними місцями(розташуваннями) можуть зменшуватись. Ці факти підтверджують очевидні переваги цього підходу. Основним недоліком цього методу є трудомістке числове рішення для великих наборів даних. Додатковий вимір призводить до повного перерахунку кубічного сплайна.

Для двовимірного випадку є подібні методи. Зацікавлений читач можете знайти докладну презентацію теорії сплайнів в Діректс (Dierckx) (1993). Деякі інші інтерполяційні та апроксимаційні методи обговорюються у розділі № 4.

Проблема 2A-ND

Регулярні дані (вимірювання сітки) необхідно інтерполювати з функціонального зв'язку приблизного опису структури даних.

Тут вимоги інтерполяції опущено. Таким чином, функціональне співвідношення має бути отримано, що опише структуру без точного відтворення Z-значень (вимірювань) на їхніх місцях. Цей підхід використовується, якщо вимірювання спотворені через випадкові помилки. Цей вид інтерполяції допомагає фільтрувати так званий «зовнішній дрейф» у даних. Ключове слово для таких підходів - "регрес". Докладніше про цю тему можна буде знайти в п. 3.2.1.

Поиск по сайту: