В-сплайни (1D-випадку)

Позначення "B-сплайни" сходить до французьким математиком Безьє. Основна ідея підходу виходить з алгоритму, заснованого на алгоритмі Катестеляу повторної лінійної інтерполяції. Цей метод успішно використовується в сучасних CAD-інструментів. B-сплайни добре підходить для додатків, які повинні бути виконані без урахування координат. B-сплайни і B-поверхні параметрически визначений.

Так звані B-криві визначають за допомогою одного параметра, т. Більш загальні B-поверхні відповідають інтерполяції з двома параметрами, і та ін. Зміна системи координат (масштабування осей та інших афінних перетворень) НЕ вплив основний алгоритм або зміна вимірювальної сітки в тривимірному просторі E³.

Для плоских кривих в Е² координату у слід опустити в наступних рівняннях.

Сформулюємо загальне правило для побудови B-кривих наступним чином:

Нехай ,буде N+1 точок даних і буде параметром. Після лінійної інтерполяції для N-разів з фіксованим параметром t для

B результаті отримана точка є точкою на B-кривій ступеня N.

Примітка: Пам'ятайте, що нумерація точок починається з нуля. Отже, ми маємо N+1 точок даних. Співвідношення (3-12) відноситься до всіх координат даних, а саме, х, у, z (див. Приклад 3.1.1.4).

B-крива є параметричною і відповідає точці для t = 0 і точці для t = 1. Ця крива звивається поміж іншими точками (рис. 3.6), що пояснює той факт, що інтерполяцію з B-сплайнами називають інтерполяцією кінцевої точки. Полігон, побудований на основі точок називається полігоном Безьє або контрольним полігоном В-кривої .

Рис. 3.6 B-крива за даними прикладу 3.1.1.4

Приклад 3.1.1.4 (1D- Вигляд) дані такі часові виміри:

За умовою (3-12) це відповідає

Отже, як параметрична крива, що описує цю структуру з фіксованими кінцевими точками, виглядає насправді? Тут N = 3. Таким чином, потрібно виконати три кроки інтерполяції для отримання остаточної B-кривої з (3-12). Перший крок призводить до

(*.1)

Це три додаткових точки, що належать до ліній , , і поділяють їх на однакові частини, залежно від t. На другому кроці ми отримуємо

(*.2)

Ці дві точки лежать на лініях , і поділяють їх на рівні частини в залежності від t. На останньому кроці, параметрична В-крива визначається

(*.3)

І зображується, як показано на рис. 3.6.

Просте виконання і незалежність систем координат є перевагами цього підходу. Грубий підхід можна покращити згладженням, звивистістю лінії, використовуючи B-сплайни. Крім того, деякі підходи - полігони з однаковими кінцевими точками і такою ж кількістю точок - слід порівняти на основі їх аналітичної параметричної форми заданої (3-12). Наприклад, таким чином можна побудувати полігон (посередній). Одним незначним недоліком може бути нетрадиційне параметричне представлення B-сплайнів.

Поиск по сайту: