 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Комплексные числа в алгебраической форме
Комплексным числом называется выражение вида
, (10.1)
(
и 
– действительные числа, 
– мнимая единица), если для любых комплексных чисел 
и 
введены операции по следующим правилам:
1) два комплексных числа и называются равными, если 
и 
;
2) суммой и разностью двух комплексных чисел
и называется комплексное число
; (10.2)
3) произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число
. (10.3)
Степени числа :так как 
то
(10.4)
Запись комплексного числа в виде 
называется алгебраической формой записи комплексного числа, где действительная часть числа 
и обозначается 
, а – мнимая часть числа и обозначается 
. Тогда комплексное число можно записать как 
.
Любое действительное число содержится во множестве комплексных чисел, его можно записать так: 
. Числа 0, 1, записываются соответственно в виде 
, 
, 
. Если 
, комплексное число 
обращается в чисто мнимое число 
. Комплексное число 
(отличается только знаком мнимой части) называется комплексно сопряженным с числом 
. Комплексные числа 
и 
называются противоположными. Модулем комплексного числа называют число 
:
. (10.5)
Модуль комплексного числа всегда есть действительное неотрицательное число 
, причем 
тогда и только тогда, когда 
. Из определения модуля комплексного числа следует, что для любых комплексных чисел 
справедливы соотношения
; 
, если 
, (10.6)
для любого целого числа 
(при 
предполагается, что 
).
Каков геометрический образ комплексного числа 
? Комплексное число изображают на координатной плоскости точкой с декартовыми координатами 
. Действительные числа изображаются точками оси 
-ов. Чисто мнимые числа 
– точками
оси 
-ов. Ось -ов – действительная ось. Ось -ов – мнимая ось. Точка А , соответствующая комплексному числу 
называется аффиксом данного комплексного числа.
Каждой точке плоскости с координатами соответствует один и только один вектор с началом в точке О (0,0)и концом в точке А . Поэтому комплексное число можно изобразить в виде вектора 
с началом в точке и концом в точке (рис. 10.2).
Пример 1.Записать аффиксы следующих комплексных чисел и построить соответствующие им радиусы-векторы: 1) 
2) 
3) 
; 4) 
; 5) 
.
Решение.
1) М 1(2, 0);
2) М 2(–3, 0);
3) М 3(0, 3);
4) М 4(0, –2);
5) М 5(2, 3) (рис. 10.1).
Пример 2.Найти множество точек, для которых 
.
Решение.Точки искомого множества удовлетворяют неравенству 
, т. к. 
(рис. 10.3).
Пример 3. Найти корни уравнения 
.
Решение. По известной формуле имеем
,
т. е. 
Ответ:
Пример 4. Найти сумму 
, если: а) 
и 
Решение. = 
.
Ответ: 
.
Найти сумму , если: б) 
и 
.
Решение. = 
.
Ответ: 
.
Пример 5. Найти разность 
, если и 
.
Решение. = (
) – (
) = 
.
Ответ: .
Пример 6. Найти 
, если 
и 
.
Решение. =() 
)= 
.
Ответ: .
Пример 7. Найти 
, если 
и 
.
Решение. = 
.
Ответ: 
.
Поиск по сайту: