АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Уравнения малых поперечных колебаний упругой струны

Читайте также:
  1. Абсолютные и относительные показатели силы связи в уравнениях парной регрессии.
  2. Анализ колебаний эконом.эф-ти на основе модели IS-LM с фиксированными ценами
  3. Анализ колебаний экономической активности на основе модели IS-LM с фиксированными ценами.
  4. Анализ экономических колебаний на основе модели IS-LM с фиксированными ценами.
  5. Вопрос 6. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.
  6. Вопрос №36.Понятие и фазы экономического цикла. Показатель разрыва ВВП. Причины циклических колебаний в рыночной экономике.
  7. Вопрос №40. Воздействие государства на экономический цикл. Методы и результаты сглаживания циклических колебаний макроэкономических показателей.
  8. Выбор уравнения регрессии
  9. Выбор формы уравнения множественной регрессии
  10. Вывод основного уравнения гидростатики.
  11. Генераторы гармонических колебаний. Общие сведения.
  12. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли

 

У нас есть некая гибкая струна, которая колеблется (Рис.4).

Рис.4

В каждый момент времени струна имеет профиль – смещение точки с координатами к моменту времени .  

Введем некоторые ограничения.

 

а) (поперечность).

Поперечные колебания реализуются перпендикулярно направлению оси и лежат в одной плоскости. В положении равновесия струна лежит на оси . Сила внешнего воздействия тоже перпендикулярна направлению оси .

 

б) (сила упругости) является касательной к профилю струны и ее величина мало меняется со временем (Рис.5)

 

Рис.5

в) Колебания малы, т.е. нет растяжения участков струны (участки струны практически не меняют свою длину).

Длина дуги

, где

Условие малости колебанийф

 

Выпишем проекции векторов и на оси:

, ;

,

Пусть m – массы струны длиной .

Введем линейную плотность массы .

Если струна однородна, то . Участок струны dx с dm = k dx движется со скоростью .

Для участков dx и ∆x получаем изменение импульса

, .

Теперь используем второй закон Ньютона: ,

,

Определим силу, силу действующую на участок струны

, где - внешняя сила.

Пусть и .

Сила перпендикулярна к оси , т.е. , .

Тогда второй закон Ньютона примет вид векторного равенства

Получаем проекцию векторного равенства на ось

 

Проекция этого равенства на ось может быть сведена к векторному равенству

 

Интеграл не зависит от , и нет зависимости от .

В итоге

Получаем интегральное уравнение колебаний струны.

Чтобы привести интегральное уравнение к дифференциальному, нужно воспользоваться теоремой о среднем, которая гласит

.

Тогда

где

; ; ; .

После деления на получим

после предельного перехода

, , , , , ;

получаем дифференциальное уравнение со вторыми производными

или

; (2.1)

где

, .

Для однородной струны коэффициент – постоянен.

Уравнение (2.1) описывает малые колебания струны.

 

Физический смысл определим из соображений размерности:

,

следовательно, является скоростью, не совпадающей со скоростью струны. Ее смысл будет установлен в дальнейшем.

Покажем, что (2.1) - уравнение гиперболического типа.

Определим дискриминант для (2.1). Сравнивая с (1.1), получаем

, , , из этого следует .

Следовательно (2.1) является уравнением гиперболического типа.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)